Identificar una función meromorfa periódica como $\frac{\pi}{\sin(\pi z)}$ .

Question

Dejemos que $f:\Bbb C\backslash\Bbb Z \to \Bbb C$ sea una función meromorfa con el periodo de $2$ en la dirección real, es decir $f(z+2)=f(z)$ . Cada $n\in \Bbb Z$ es un polo simple tal que $\text{Res}(f(z),n)=(-1)^n$ . Estos son los únicos polos de $f$ .

Sólo a partir de esta información, ¿es posible concluir que $f(z) = \frac {\pi}{\sin{\pi z}}+C$ ?

Sé que $\frac {\pi}{\sin{\pi z}} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac {(-1)^n}{z-n}$ así que esto es ciertamente un posible candidato para $f$ . Sin embargo, no sé si es la única función que encaja.

Editar : Gracias por todos los comentarios hasta ahora, acabo de darme cuenta de que la pregunta original tiene una respuesta trivial porque me olvidé de mencionar una información crucial: $f$ es una primitiva de una función meromorfa $g$ que tiene polos de orden $2$ en cada $n\in\Bbb Z$ .

Teniendo en cuenta el comentario de Conrad, ¿sería suficiente para obtener la conclusión siempre que asumamos algún tipo de límite para $g$ en la dirección vertical?

Answer 1

A $2$ -La función entera periódica es de la forma $$g(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{i \pi nz}, \qquad \forall r, \lim_{n \to \infty} c_n e^{rn}=\lim_{n \to \infty} c_{-n} e^{rn}=0$$

Entonces $f $ es meromorfo $2$ -periódica con polos en enteros de orden $1$ y residuos $(-1)^n$ si $f-\frac{\pi}{\sin \pi z}$ es un $2$ -función entera periódica.

Que $g$ está acotado en $\Im(z) > 1,\Re(z) \in [0,2]$ significa $c_n = \lim_{y \to \infty} \frac12 \int_0^2 e^{-i \pi n (x+iy)} g(x+iy)dx= 0$ para $n< 0$ , Que $g$ está acotado en $\Re(z) \in [0,2]$ significa $c_n = 0$ para $n\ne 0$ , es decir. $g$ es constante.