El problema que se me plantea en la tarea es:
Demostrar que el límite de una familia decreciente de medidas exteriores es una medida exterior.
Haciendo el planteamiento "obvio", llegamos rápidamente al problema de querer decir que $$\lim_{j\to\infty}\;\mu_j^*\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)\leq\lim_{j\to\infty}\left(\sum_{i=1}^\infty\;\mu_j^*(A_i)\right)\underbrace{\leq}_{\text{PROBLEM}}\sum_{i=1}^\infty\left(\lim_{j\to\infty}\;\mu_j^*(A_i)\right)$$ El problema, tal y como yo lo veo, es que El lema de Fatou tiene la desigualdad en el sentido contrario al que queremos aquí (por cierto, este curso aún no ha llegado a la integración).
De hecho, creo que la afirmación es falsa, porque me puedo imaginar muy bien el siguiente escenario:
- $\{A_i\}_{i=1}^\infty\subset \mathcal{P}(X)$ es una familia de subconjuntos de $X$ (disjuntos, probablemente)
- $\mu_j^*:\mathcal{P}(X)\to[0,\infty]$ son una familia decreciente de medidas externas sobre $X$ con la propiedad de que $$\mu_j^*(A_i)=\begin{cases}1\text{ if }j\leq i\\ 0\text{ if }j>i \end{cases}$$ (Esto ciertamente no estaría en conflicto con la suposición de que el $\mu_j^*$ son decrecientes, es decir, que $\mu_j^*(A)\geq\mu_{j+1}^*(A)$ para todos $j\in\mathbb{N}$ y $A\subseteq X$ .)
Dejar $\mu^*:\mathcal{P}(X)\to[0,\infty]$ se define por $\mu^*(A)=\lim_{j\to\infty}\mu_j^*(A)$ concluimos inmediatamente que $\mu^*(\varnothing)=0$ y que $\mu^*(A)\leq\mu^*(B)$ cuando $A\subseteq B$ pero entonces tenemos que $$\mu^*\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\lim_{j\to\infty}\;\mu_j^*\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)\geq\lim_{j\to\infty}\;\mu_j^*(A_j)=\lim_{j\to\infty}\;1=1$$ mientras que $$\sum_{i=1}^\infty\;\mu^*(A_i)=\sum_{i=1}^\infty\left(\lim_{j\to\infty}\;\mu_j^*(A_i)\right)=\sum_{i=1}^\infty\left(\lim_{j\to\infty}\;\;{1\text{ if }j\leq i\atop 0\text{ if }j>i}\right)=\sum_{i=1}^\infty\;0=0 $$ para que $$\mu^*\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)\not\leq\sum_{i=1}^\infty\;\mu^*(A_i)$$ y por lo tanto $\mu^*$ no es una medida exterior.
Entonces, regalando lo menos posible (ya que se trata de una pregunta de tarea), ¿es imposible el escenario que propuse arriba? He intentado construir ejemplos con $X=\mathbb{N}$ y el valor de $\mu_j^*(A)$ dependiendo de si $A\cap\{1,\ldots,j\}=\varnothing$ pero eso no llegó a ninguna parte.
