Cómo mostrar la transformación lineal $T$ es biyectiva basándose en la siguiente suposición?

Question

Dejemos que $T:P_n(\Bbb{R})\rightarrow P_n(\Bbb{R})$ sea la transformación lineal definida por $T(p(x))=p(x)+p'(x)$ donde $p'(x)$ es la derivada de $p(x)$ . Demostrar que $T$ es biyectiva.

Aquí está mi intento:

Dejemos que $p(x)=ax^2+bx+c$ . Entonces $T(p(x))=p(x)+p'(x)=ax^2+(2a+b)x+(c+b)$ . Claramente $\dim V=\dim W=3$ por lo que sólo tenemos que demostrar la inyectabilidad o la subjetividad. Dado que $T$ es inyectiva si $T(p(x))\in$ Ker $(T)$ (No estoy seguro de que esta forma de decir sea correcta), resolvemos el sistema $(a, 2a+b, c+b)=(0,0,0)$ y obtenemos $a=b=c=0$ . Así que el $T(p(x))\in$ Ker $(T)$ . Por lo tanto, $T$ es biyectiva. Pero, ¿cómo confirmamos su subjetividad si realmente queremos saberlo?

Aquí viene el nuevo problema: ¿qué pasa si dejamos que $T(p(x))=p(x)+a_1p'(x)+...+a_np^{(n)}(x)$ donde $a_1,...,a_n$ son escalares y $p^{(k)}(x)$ es el $k$ derivada de $p(x)$ . ¿Cómo mostramos $T$ es biyectiva?

El $\dim$ de $V$ debe ser igual a $\dim$ de $W$ ya que he intentado varios términos, pero me cuesta expresar tal cosa. Además, ¿cómo vamos a mostrar su inyectividad?

Answer 1

Supongamos que $T(p) = 0$ entonces $p$ satisface la ecuación $\sum_k a_k p^{(k)} (x) = 0$ para todos $x$ tenemos $a_0 = 1$ .

Tenga en cuenta que para todos los $p \in \mathbb{P}_n$ tenemos que $p^{(n)} $ es una constante.

Diferenciar la ecuación $\sum_k a_k p^{(k)} (x) = 0$ $n$ veces, y desde $a_0 = 1$ vemos que $p^{(n)} = 0$ .

Ahora diferencie la ecuación $n-1$ veces, vemos que $p^{(n-1)} = 0$ .

Repitiendo vemos que $p = 0$ .

Si se quiere demostrar la subjetividad (de hecho, esto demuestra también la inyectividad) supongamos que $T(p) = y$ . Si diferenciamos ambos lados $n$ veces y evaluar en $x=0$ vemos vemos que $p^{(n)}(0) = y^{(n)}(0)$ . Ahora diferenciar ambos lados $n-1$ veces y evaluar en $x=0$ para conseguir $p^{(n-1)}(0)+ a_1 p^{(n)}(0) = y^{(n-1)}(0)$ , lo que da $p^{(n-1)}(0)$ . La repetición (se trata de un sistema "triangular") da valores para $p^{(k)}(0)$ para $k=0,...,n$ . Esto define de forma única el polinomio $p$ . Por lo tanto, $T$ es sobreyectiva e inyectiva.