¿Es éste un contraejemplo trivial del ejercicio básico de teoría de números de Rosen?

Question

Está claro que me estoy perdiendo algo o entendiendo mal.

He trabajado a través de la misma pregunta presentada aquí . He podido comprobar la siguiente afirmación:

Demuestre que si $p$ es un primo impar y $a$ es un número entero positivo no divisible por p, entonces la congruencia $x^2 \equiv a \pmod{p}$ no tiene solución o tiene exactamente dos soluciones incongruentes.

Pero, de alguna manera, soy capaz de encontrar contraejemplos

Por ejemplo, $3$ es un primo de impar. $1$ es un número entero positivo que no es divisible por $3$ . Sea $a = 1$ , $p = 3$ . Entonces $1^2 \equiv 1 \pmod{3}$ ; $(-1)^2 \equiv 1 \pmod{3}$ ; $2^2 \equiv 1 \pmod{3}$ y $(-2)^2 \equiv 1 \pmod{3}$ lo que viola mi conclusión de que hay exactamente dos soluciones para $x$ dado un $a$ y $p$ ya que aquí parece haber cuatro soluciones.

¿Alguna idea de dónde está mi malentendido? Gracias.

Answer 1

Su malentendido es que $-1\equiv2$ y $-2\equiv1\pmod3$ , por lo que son las mismas soluciones.

Answer 2

Si $\ p\ $ es un número primo, el anillo $\mathbb Z_p$ es un campo, por lo que el poylnomio $$x^2-a$$ tiene como máximo dos raíces distintas. Si $a\ne 0$ una raíz doble es imposible porque $$(x-b)^2=x^2-2bx+b^2$$ sólo puede ser de la forma $x^2-a$ , si $b$ es $0$ . Esto completa la prueba.