Resolución de un sistema de dos ecuaciones en dos variables

Question

Doy clases de matemáticas del SAT para una empresa de preparación de exámenes y recientemente me encontré con este problema.

$$ \begin{cases} y=ax-9 \\ y=x^2 - 2x \end{cases} $$ En el sistema de ecuaciones anterior, $a$ es una constante. ¿Para cuál de los siguientes valores de $a$ el sistema de ecuaciones tiene exactamente una solución real.

A.) $-8$
B.) $-3$
C.) $4$
D.) $8$

La respuesta es C). $4$ Sin embargo, al establecer las dos ecuaciones iguales entre sí y resolver para $a$ Parece que $-8$ es también una solución plausible.

En concreto, parece que el gráfico de de $-8x-9$ y $4x-9$ son ambas tangentes a $x^2-2x$ en $x=-3$ y $x=3$ respectivamente.

Utilicé el cálculo elemental y encontré la línea tangente en $x=-3$ para ser $y=-8x-9$ y en $x=3$ la línea tangente a ser $y=4x-9$ .

Sé que estos problemas pasan por una ronda de revisiones, sólo quería asegurarme de que era correcto antes de notificarlo a la empresa.

Answer 1

$$x^2-(2+a)x+9=0\;\text{ has a unique solution}\;\iff \Delta=(2+a)^2-36=0\iff$$

$$a+2=\pm6\iff a=\begin{cases}&\;\;\,6-2=4\\or\\{}&-6-2=-8\end{cases}$$

Las dos soluciones anteriores son igualmente plausibles sin otras condiciones dadas, por lo que yo diría que tanto (a), como (c) son respuestas aceptables. No es necesario el cálculo, por cierto.