Un límite en el $\mathrm{L}^p$ norma en términos de la $\mathrm{L}^2$ norma en espacios periódicos de Sobolev

Question

( La pregunta fue publicado originalmente en Math StackExchange).

Preliminares: Dado ${s \geq 0}$ , dejemos que ${\mathrm{H}_P^s}$ denotan el ${\mathrm{L}^2}$ -de orden fraccionario del espacio de Sobolev de ${P}$ -funciones periódicas en la línea con norma \begin{equation*} \| u \|_{\mathrm{H}_P^s} = \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} \bigg(1 + \frac{4 \pi^2 n^2}{P^2}\bigg)^{s} |\widehat{u}_n|^2 \right)^\frac{1}{2}, \end{equation*} donde ${\widehat{u}}$ es el ${n}$ coeficiente de Fourier. Establecemos ${\mathrm{L}_P^2 \equiv \mathrm{H}_P^0}$ y recordar el teorema de Parseval que da el equivalente $\mathrm{H}^s(-\frac{P}{2},\frac{P}{2})$ norma cuando $s$ es un número entero no negativo. Además, dejemos que ${\| \cdot \|_{\infty}}$ expresan la norma del sumo en un intervalo de longitud ${P}$ .

Pregunta: Arreglar ${s > \frac{1}{2}}$ y ${p > 2}$ y considerar las funciones ${u}$ en una bola abierta de ${\mathrm{H}_P^s}$ Es decir, ${\| u \|_{\mathrm{H}_P^s} < R}$ . ¿Es posible estimar \begin{equation*} \| u \|_{\mathrm{L}_P^p}^{p} := \int_{-\frac{P}{2}}^{\frac{P}{2}} u^{p} \, \mathrm{d}x \lesssim \| u \|_{\mathrm{L}_P^2}^{2 + \epsilon} \end{equation*} para algunos ${\epsilon > 0}$ (probablemente dependiendo de ${p}$ )?

Ideas: Tenemos \begin{equation*} \| u \|_{\mathrm{L}_P^p}^{p} \leq \| u \|_{\infty}^{p - 2} \| u \|_{\mathrm{L}_P^2}^{2}, \end{equation*} por lo que quizás sea más fácil establecer ${\| u \|_{\infty}^{p - 2} \lesssim \| u \|_{\mathrm{L}_P^2}^{\epsilon}}$ .

Es decir, ¿tenemos $${\| u \|_{\infty} \lesssim \| u \|_{\mathrm{L}_P^2}^{\tilde{\epsilon}}}$$ para algunos $\tilde{\epsilon} > 0$ dado que ${\| u \|_{\mathrm{H}_P^s} < R}$ ?

Cuando ${s = 1}$ esto es cierto basado en la estimación \begin{equation} \| u \|_{\infty} \lesssim \| u' \|_{\mathrm{L}_P^2}^{\frac{1}{2}} \| u \|_{\mathrm{L}_P^2}^{\frac{1}{2}} \lesssim \| u \|_{\mathrm{L}_P^2}^{\frac{1}{2}} \end{equation} (ya que ${\| u' \|_{\mathrm{L}_P^2} \leq \| u \|_{\mathrm{H}_P^1} < R}$ ). Esta estimación se encuentra en estos [Notas de la conferencia, página 21] cuando el dominio es la línea real ${\mathbb{R}}$ pero sería bueno ver un argumento/referencia al caso periódico. ¿Y se extiende al escenario general con $s > \frac{1}{2}$ ?

Answer 1

Permítanme ampliar mi comentario en una respuesta. Dejemos que $s>\frac12$ y elegir cualquier $r\in(\frac12,s)$ . Interpolando entre espacios de Sobolev se obtiene $\|u\|_{H^r_P}\lesssim\|u\|_{H^0_P}^\delta\|u\|_{H^s_P}^{1-\delta}$ para algunos $\delta>0$ . Como se le mostró en la respuesta de MSE a la pregunta, $\|u\|_{L^\infty}\lesssim\|u\|_{H^r_P}$ . La suma de estas estimaciones da como resultado $\|u\|_{L^\infty}\lesssim\|u\|_{L^2_P}^\delta\|u\|_{H^s_P}^{1-\delta}$ . Suponiendo que $\|u\|_{H^s_P}\lesssim1$ Esta estimación homogénea te da la inhomogénea que necesitas: $\|u\|_{L^\infty}\lesssim\|u\|_{L^2_P}^\delta$ .