un ejemplo explícito de una función con un conjunto denso local estrictamente máximo

Question

Este problema parece muy difícil )= Construir una función continua, tal que su conjunto de puntos máximos estrictamente locales, sea el conjunto de los racionales.

Answer 1

Dejemos que $f(x)=-\sqrt{x(1-x)}$ para $x\in[0,1]$ y que $g(x) = f(\text{the fractional part of }x)$ .

Entonces $g(x)$ es una función continua con máximos locales muy marcados en cada número entero.

Ahora, $h(x)=\sum_{k=1}^\infty a_k g(k!x)$ para unos coeficientes adecuados $a_k$ que hacen que todo converja, deben tener la propiedad especificada.