Intuición geométrica para los automorfismos de grupos diedros

Question

El otro día me di cuenta de que el grupo de automorfismo del grupo diédrico $D_{2n}$ (de orden $2n$ ) es $\operatorname{Aff}(\mathbb Z/n\mathbb Z)$ el grupo de transformaciones afines de la $\mathbb Z$ -Módulo $\mathbb Z/n\mathbb Z$ . Por "transformación afín" me refiero a una función invertible $\mathbb Z/n\mathbb Z\to \mathbb Z/n\mathbb Z$ de la forma $x\mapsto ax + b$ (así $a\in(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$ y $b\in\mathbb Z/n\mathbb Z$ ); la multiplicación de grupos en $\operatorname{Aff}(\mathbb Z/n\mathbb Z)$ es la composición de la función. Tanto $D_{2n}$ y $\operatorname{Aff}(\mathbb Z/n\mathbb Z)$ tienen una interpretación geométrica natural: $D_{2n}$ representa las simetrías del $n$ -gon y $\operatorname{Aff}(\mathbb Z/n\mathbb Z)$ representa una buena clase de transformaciones del "espacio" $\mathbb Z/n\mathbb Z$ . La interpretación geométrica de $\operatorname{Aff}(\mathbb Z/n\mathbb Z)$ es ciertamente más abstracta que la primera, pero no creo que deba descartarse. En cualquier caso, entiendo que el algebraico razones por las que $\operatorname{Aut}(D_{2n}) \cong \operatorname{Aff}(\mathbb Z/n\mathbb Z)$ , pero parece que también podría haber geométrico razones.

¿Existe una explicación geométrica intuitiva de por qué deberíamos esperar que el grupo de automorfismo de un grupo diedro sea un grupo afín? ¿Conoce alguien una forma intuitiva de visualizar los automorfismos del grupo diédrico como transformaciones afines?

Answer 1

Imagen $D_{2n}$ como las simetrías del círculo unitario $S^1 \subset \mathbb{C}$ marcado por el $n^{th}$ raíces de la unidad $\omega_b = \text{exp}(2 \pi i b/n)$ , $b \in \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ .

La respuesta breve a su pregunta es que $\text{Aff}(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})$ actos de $n$ -mapas autocubiertas de $S^1$ que permuta las líneas de simetría reflexiva de los elementos de $D_{2n}$ y que esta acción es idéntica a la acción de $\text{Aut}(D_{2n})$ en las líneas de simetría reflexiva. Para mí, lo que esto está diciendo es que los automorfismos de $D_{2n}$ se realizan mediante "mapas autocubiertos" de $D_{2n}$ .

Le site $n$ las simetrías rotacionales son los mapas $\rho_b(z) = z \omega_b$ . El $n$ Las simetrías de reflexión son los reflejos $r_c$ a través de las líneas del formulario $L_{c}$ , donde $L_c$ pasa por el origen y por el $(2n)^{\text{th}}$ raíz de la unidad $\text{exp}(2 \pi i c/2n)$ , donde $c \in \mathbb{Z} / 2n \mathbb{Z}$ . Tenemos una correspondencia uno a uno $r_c \leftrightarrow L_c$ entre elementos de reflexión líneas de reflexión: cada reflexión determina su línea, cada línea determina su reflexión. El grupo $\text{Aut}(D_{2n})$ permuta el conjunto de reflexiones $r_c$ y esto es una acción fiel, lo que significa que un automorfismo está completamente determinado por su permutación de reflexión (porque las reflexiones generan $D_{2n}$ ). Por lo tanto, $\text{Aut}(D_{2n})$ actúa fielmente por permutaciones en el conjunto de líneas de reflexión $L_c$ .

Entre en $\text{Aff}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ . La afirmación es que hay un fiel $\text{Aff}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ acción sobre el conjunto de líneas de reflexión $L_c$ que es exactamente igual a la acción de $\text{Aut}(D_{2n})$ . Dado un elemento $(a,b) \in \text{Aff}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ se puede aplicar al círculo mediante un $a$ -mapa de cobertura de pliegues según la fórmula $$(a,b) \cdot z = z^a \cdot \omega_b $$ Al aplicar esto a $z = exp(2 \pi i c / 2n)$ el resultado es $z' = exp(2 \pi i (ac + 2b)/2n)$ y así se obtiene $$(a,b) \cdot L_c = L_{c'} \,\,\text{where}\,\, c' = ac+2b $$ y de esta fórmula se deduce fácilmente que la acción de $\text{Aff}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ en las líneas $L_c$ es una biyección.

Todavía hay que hacer algunos cálculos para verificar que las acciones de $\text{Aff}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ y de $Aut(D_n)$ en las líneas de reflexión $L_c$ son los mismos, pero al menos he dado la idea geométrica subyacente.

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He aquí una forma de visualizar estos llamados "mapas de cobertura". Fijar $n$ y arreglar $(a,b) \in \text{Aff}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ (pruebe, por ejemplo, $n=5$ , $a=2$ y $b=$ cualquier cosa en $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ ). Consideremos el siguiente reetiquetado de los puntos $\omega_0,\omega_1,\ldots,\omega_{n-1}$ : dejar $\xi_0 = \omega_b$ y, por inducción, dejemos que $\xi_i = \xi_{i-1} \cdot \omega_a$ . A partir de $\xi_0$ , conecte una línea recta con $\xi_1$ entonces $\xi_2$ ..., entonces $\xi_{n-1}$ y luego de vuelta a $\xi_n=\xi_0$ (en el ejemplo se obtiene un pentagrama, con vértices etiquetados $0,1,2,3,4$ ). El automorfismo que corresponde a $(a,b)$ tiene los siguientes efectos: toma la fijación de la reflexión $\omega_i$ a la fijación de la reflexión $x_i$ y toma la reflexión a través de la bisectriz del segmento $\overline{\omega_i \omega_{i+1}}$ a la reflexión a través de la bisectriz del segmento $\overline{x_i x_{i+1}}$ .