Matrices 2x2 que no son estados cuánticos válidos

Question

Dado un espacio de Hilbert de 2 dimensiones, los estados cuánticos pueden expresarse como $2\times 2$ matrices de densidad. En términos de las matrices de Pauli, o representación de Bloch, pueden escribirse como \begin{equation} \rho=\frac{1}{2}\left(\mathbb{I}+\vec{r}\cdot\vec{\sigma}\right) \end{equation} donde $\vec{r}$ es el vector de Bloch en la esfera de Bloch y $|\vec{r}|\leq1$ .

PREGUNTA 1: ¿Hay $2\times 2$ matrices que no son estados cuánticos válidos?

PREGUNTA 2: ¿Existe algún tipo de $2\times 2$ matrices que son estados cuánticos válidos?

Answer 1

1. Sí. No todos $2 \times 2$ tienen rastro 1, pero todas las matrices de densidad lo tienen. También hay muchas otras propiedades especiales de las matrices de densidad, como ser hermitianas.
2. Sí. Por ejemplo, considere un estado puro $\rho = | \psi \rangle \langle \psi |$ . Esta es una matriz de rango 1, porque es sólo una proyección sobre $|\psi \rangle$ por lo que no es invertible.