Prueba $\int \frac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^n}=\frac{A\sin x+ B\cos x}{(a\sin x+b\cos x)^{n-1}}+C \int \frac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^{n-2}}$

Question

Puedes darme una pista con este ejercicio. He intentado varias formas pero no he conseguido llegar a algo

Demostrar que

$$\int \frac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^n}=\frac{A\sin x+ B\cos x}{(a\sin x+b\cos x)^{n-1}}+C \int \frac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^{n-2}}$$ donde $A,B$ y $C$ son coeficientes indeterminados.

Answer 1

Integrar por partes,

$$\begin{align} I & = \int {1 \over (a\sin x + b\cos x)^n } dx\\ & = -\frac{1}{a^2+b^2}\int {1 \over (a\sin x + b\cos x)^{n-2} } d\left({a\cos x - b\sin x\over a\sin x + b\cos x} \right) \\ & = -\frac{1}{a^2+b^2}{a\cos x - b\sin x\over (a\sin x + b\cos x)^{n-1}} -\frac{n-2}{a^2+b^2}\int {(a\cos x - b\sin x)^2\over (a\sin x + b\cos x)^{n} } dx\\ &= -\frac{1}{a^2+b^2}{a\cos x - b\sin x\over (a\sin x + b\cos x)^{n-1}} + \frac{n-2}{a^2+b^2} \int {dx \over (a\sin x + b\cos x)^{n-2} } +(n-2)I \\ \end{align}$$

donde $(a\cos x - b\sin x)^2 = (a^2+b^2) - (a\sin x + b\cos x)^2 $ se utiliza. Así, $$I=\frac{A\sin x+ B\cos x}{(a\sin x+b\cos x)^{n-1}}+C \int \frac{dx}{(a\sin x+b\cos x)^{n-2}}$$

donde $A=bc,\>B =-ac,\> C = (n-2)c$ con $c={1\over (n-1)(a^2 + b^2)}$ .

Answer 2

Una cosa que puedes usar es que $$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\cos(x - c)$$ Aquí $\tan c = {a \over b}$ . Así, su integral se convierte en $$(a^2 + b^2)^{-{n \over 2}} \int \sec^n (x - c)$$ Por lo tanto, su problema se reduce a la norma $ \sec^n x$ integral después de un simple cambio de variables a $x - c$ . Este $ \sec^n x$ integral puede expresarse en términos de $\int \sec^{n-2}x $ utilizando la integración por partes como se describe en muchos libros de texto de cálculo.