Teoría de Hodge y variedades definidas sobre subcampos de los números complejos

Question

Esta cuestión está relacionada con la pregunta: ¿Existe una $k$ -para los módulos de Hodge sobre un $k$ -¿variedad? .

Supongamos que $K$ es un subcampo de $\mathbb{C}$ y $M$ es un holonómico $D$ -módulo "de origen geométrico" en un esquema suave $X/K$ . Según la teoría de Saito, la base cambiada $D$ -Módulo $M_{\mathbb{C}}$ en $X\underset{\operatorname{Spec}(K)}\times \operatorname{Spec}(\mathbb{C})$ lleva una estructura natural de módulo mixto de Hodge.

Una pregunta mal formulada: ¿cómo es que el $K$ -estructura racional en $M_{\mathbb{C}}$ interactuar con las estructuras de Hodge?

He aquí algunas encarnaciones precisas de esa pregunta. La teoría de Saito dota $M_{\mathbb{C}}$ con la filtración del peso $W$ (por $D$ -submódulos) y una filtración de Hodge (compatible con la filtración sobre operadores diferenciales). ¿Son $W$ y $F$ definido sobre $K$ ? O, una pregunta aparentemente más débil: ¿la acción de $\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/F)$ en (el módulo mixto de Hodge de) la cohomología de Rham de $M_{\mathbb{C}}$ preservan las filtraciones inducidas en la cohomología de Rham? (Esto se verifica fácilmente cuando $M=\mathcal{O}_X$ ).

Answer 1

Querido Moosbrugger,

Si se piensa en el origen de la filtración del peso en la cohomología en el caso de los coeficientes constantes, proviene de la compactación de la variedad a través de un divisor normal de cruces en el infinito. Si la variedad está definida sobre $K$ por lo que esta compactación debería ser (al menos, deberíamos poder tomar una definida sobre $K$ ), y por tanto (calculando la cohomología de Rham) deberíamos obtener que, en la cohomología de Rham, la filtración de pesos está definida sobre $K$ . Extendiendo la intuición obtenida de este caso especial al contexto general de los módulos mixtos de Hodge, yo supondría que para los objetos de origen geométrico, la filtración del peso debería definirse sobre $K$ .

Answer 2

Consulte la sección 1 de M. Saito, Arithmetic mixed sheaves, Inventiones 2001. Parte de los datos para un objeto de su categoría $MHM(X/K)$ es un bifiltro $D$ -módulo definido sobre $K$ . Así que parece que su pregunta tiene una respuesta positiva. Pero como siempre con estas cosas, es fácil pasar algo por alto. Si es realmente importante para ti, deberías preguntarle a Saito directamente (no está en Mathoverflow, que yo sepa). Alternativamente, como ha sugerido Matthew Emerton, puede ser más sencillo resolver los casos que necesitas a mano.