¿Cómo puedo evaluar $\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(3x^2+2 \sqrt 2 xy+3y^2)} \mathrm dx\,\mathrm dy$ ?

Question

Evaluar $$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-3x^2-2 \sqrt 2 xy - 3y^2\right) \, \mathrm dx\,\mathrm dy$$

Primero evalúo

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left[-3\bigl(x^2+ y^2\bigr)\right] \,\mathrm dx\,\mathrm dy$$

utilizando coordenadas polares, que se evalúa como $\pi/3$ . Pero me resulta difícil evaluar la doble integral $$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-2 \sqrt 2 xy\right) \, \mathrm dx\,\mathrm dy$$ ¿Podría alguien ayudarme a averiguarlo?

Answer 1

$$3x^2+2\sqrt{2} xy + 3y^2 =\begin{bmatrix}x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}$$ por lo que el integrando es $$\exp(- v^\top \Omega v/2)$$ donde $v = \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}$ y $\Omega = 2\begin{bmatrix} 3 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 3 \end{bmatrix}$ .

Utilizando el densidad de un $N(0, \Sigma)$ distribución tenemos $$\frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^2 \det (\Omega^{-1})}} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \exp(-v^\top \Omega v / 2) \, dx \, dy = 1.$$

Answer 2

Una pista: Haciendo el cambio de variables $x=X+Y$ y $y=X-Y$ su integral se convierte en $$2\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty \exp\left[-\left(2\sqrt2+6\right)X^2-\left(-2\sqrt2+6\right)Y^2\right]\,\mathrm dX\,\mathrm dY.$$