Axiomas de los grupos abelianos con menos en lugar de más

Question

Un grupo abeliano es un conjunto dotado de una operación binaria $+$ una operación unitaria $-$ y una operación nula (constante) $0$ que satisface ciertos axiomas (asociatividad, unidad, etc.). Me pregunto si es posible describir la misma estructura, es decir, la de grupo abeliano, utilizando una operación binaria $-$ y una constante $0$ . Creo que es posible mediante la configuración de $a-b=a+(-b)$ donde en el LHS está el binario $-$ Estoy definiendo, mientras que en el RHS tenemos el usualmente binario $+$ y el operador unario "inverso" $-$ . Pero cuáles deberían ser los axiomas para $-$ para tener un grupo abeliano?

Answer 1

Hay El famoso axioma único de Tarski para los grupos abelianos en términos de resta : $$x - (y - (z - (x - y))) = z.$$

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Voir aquí para una versión de G. Higman y B. H. Neumann para grupos.

Answer 2

Dejemos que $(X,-,0)$ sea un triple compuesto por un conjunto $X$ una operación binaria $-$ en $X$ y una constante $0$ en $X$ . Necesitaremos los siguientes axiomas:

• $(a-d)-(b-c)=(a-b)-(d-c)$
• $a-0 = a$
• $a-a=0$
• $b-(c-a)=a-(c-b)$

Definir $a+b := a-(0-b)$ . Afirmo que $(X,+,0)$ es un grupo abeliano.

Está claro que $a+b=b+a$ , $a+0=a$ y $(0-a)+a=0$ . Finalmente, $+$ es asequible: Empezamos con $$(a-0)-(b-c)=(a-b)-(0-c)$$ Sustituyendo $b$ por $0-b$ y utilizando $a-0=a$ produce $$a-((0-b)-c)=(a-(0-b))-(0-c)$$ El lado derecho es claramente $(a+b)+c$ . El lado izquierdo es igual a $a+(b+c)$ porque $$0-(b+c) = 0 -(b-(0-c)) = (0-0)-(b-(0-c))\\ =(0-b)-(0-(0-c)) =(0-b)-(c-(0-0))=(0-b)-c.$$ Así, $(X,+,0)$ es un grupo abeliano.

Por el contrario, si $(X,+,0)$ es un grupo abeliano, entonces $a-b := a+(-b)$ satisface los axiomas. Estas construcciones son inversas entre sí. Las nociones de homomorfismo también coinciden, de modo que obtenemos categorías isomorfas.

Obsérvese que es posible reducir los axiomas y que la prueba siga funcionando: En el axioma 1, podemos suponer $d=0$ . En el axioma 4, podemos suponer $c=0$ . Pero creo que los axiomas parecen más naturales cuando se enuncian como arriba.

Answer 3

Una vez que sepas que puedes reescribir $a + b = a - (0 - b)$ , es simplemente cuestión de repasar los axiomas de los grupos abelianos y reescribir todo:

Un grupo abeliano es un triplete $(A, -, 0)$ que consiste en un conjunto $A$ , una ley $- : A \times A \to A$ y un elemento $0 \in A$ tal que:

• Asociatividad: para todos $a,b,c \in A$ , $$(a + b) + c = a + (b + c) \iff \color{red}{(a - (0 - b)) - (0 - c) = a - (0 - (b - (0 - c)))}$$

• Elemento de identidad: para todos los $a \in A$ , $$a + 0 = a = 0 + a \iff \color{red}{a - (0 - 0) = a = 0 - (0 - a)}$$

• Elemento inverso: para todo $a \in A$ existe $b \in A$ tal que: $$a + b = 0 = b + a \iff \color{red}{a - (0 - b) = 0 = b - (0 - a)}$$

• Conmutatividad: para todo $a, b \in A$ , $$a + b = b + a \iff \color{red}{a - (0 - b) = b - (0 - a)}$$

Para obtener un grupo abeliano "verdadero" a partir de este tipo de grupo abeliano, basta con establecer $a + b = a - (0 - b)$ y verás que todos los axiomas están ahí.