Definición de valor absoluto

Question

¿Es cierto que $\dots$ $$ \left| y \right| = \begin{cases} y \hspace{1cm} y \geq 0 \\ -y \hspace{0.7cm} y < 0 \end{cases} $$

Estoy un poco confundido con el segundo caso, donde $|y| = -y$ entonces $y<0$ , por ejemplo : $$ \left| 2x-4 \right|=-(2x-4) $$ si asumimos que $ y=2x-4 $ entonces $$ \begin{align*} y&<0 \\ 2x-4&<0 \\ 2x&<4 \\ x&<2 \end{align*} $$ de la otra manera, podemos resolverlo así $$ \begin{align*} |y| \geq 0 \\ |2x-4| \geq 0 \\ -(2x-4) \geq 0 \\ 2x-4 \leq 0 \\ x \leq 2 \end{align*} $$

¿por qué da respuestas diferentes?

Answer 1

Debe entrenarse para leer las fórmulas sin referencia a variables específicas. La definición $$ |x|=\begin{cases} x & x\ge0 \\[4px] -x & x<0 \end{cases} $$ se entiende que

el valor absoluto de un número es

1. el propio número si es mayor o igual que $0$ ,
2. el negativo del número si es menor que $0$ .

También debe evitar utilizar una variable con dos significados diferentes en la misma sentencia.

Parece que quieres ver cuando $|2x-4|=-(2x-4)$ . Según la definición, esto sucede si y sólo si

1. $2x-4<0$ o
2. $2x-4=0$ .

¿Por qué el segundo caso? Porque $0=-0$ . Por otro lado, si $2x-4>0$ entonces no podemos tener $(2x-4)=-(2x-4)$ porque un término es positivo y el otro es negativo.

Se podría hacer la definición inicial más simétrica declarando $$ |x|=\begin{cases} x & x>0 \\[4px] 0 & x=0 \\[4px] -x & x<0 \end{cases} $$ pero también se puede observar que $$ |x|=\begin{cases} x & x>0 \\[4px] -x & x\le0 \end{cases} $$ sería una definición completamente equivalente.

Answer 2

Tenga en cuenta que, en general, la definición es

$$\left| f(x) \right| = \begin{cases} f(x) \hspace{1cm} f(x) \geq 0 \\ -f(x) \hspace{0.7cm} f(x) < 0 \end{cases}$$

Answer 3

El valor absoluto hace que una función sea simétrica con respecto al $x$ -eje. Entonces tenemos que prestar atención cuando la función asume un valor negativo. En su ejemplo tenemos:

$$|2x−4|=\begin{cases}2x-4 \quad\text{if} \quad 2x-4\ge0\implies x\ge2\\ 4-2x\quad \text{if} \quad 2x-4 <0\implies x<2\end{cases}$$

El gráfico de su función, de hecho, lo es:

$\hspace{6cm}$

Answer 4

Es un poco confuso utilizar la misma letra $x$ para su sustitución.

Dejemos que el conjunto $y=2x-4$ .

Entonces $|y|$ es $\begin{cases}+y&=2x-4&\quad\text{when}\quad y\ge0\iff 2x-4\ge 0\iff x\ge 2\\-y&=4-2x&\quad\text{when}\quad y<0\iff 2x-4<0\iff x<2\end{cases}$

En efecto, para $x=1$ entonces $x<2$ entonces $|y|=|2\times 1-4|=|-2|=2=4-2\times 1$

Y para $x=3$ entonces $x\ge 2$ entonces $|y|=|2\times 3-4|=|2|=2=2\times 3-4$