Demostrar que $\frac{1}{e^e} - 1 + e - \frac{e^2}{2} + \frac{e^3}{6}\ge 0$

Question

¿Cómo puedo demostrar la desigualdad?

$$\frac{1}{e^e} - 1 + e - \frac{e^2}{2} + \frac{e^3}{6} \geq 0$$

Puedo ver que $e^e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{e^k}{k!} = 1 + e + \frac{e^2}{2} + \frac{e^3}{6}+\dots \geq 0$ pero no estoy seguro del siguiente paso.

Answer 1

Casi estás en el camino correcto. Mira la expansión de Taylor de $e^{-x}$ en su lugar.

Answer 2

Pista secundaria: Si la secuencia $(a_n)$ es monotónicamente decreciente a $0$ entonces $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\ge 0$ .

Sugerencia terciaria: $e<3$

Answer 3

Casi, Sugerencia : $$e^{-e} = \sum_{k = 0}^\infty \frac{(-e)^k}{k!}= 1-e+\frac{e^2}{2}-\frac{e^3}{6}+\sum_{k = 4}^\infty \frac{(-e)^k}{k!}$$ Ahora tienes que mostrar $$\sum_{k = 4}^\infty \frac{(-e)^k}{k!}\ge0$$