¿Por qué la tabla de verdad no se utiliza en lógica?

Question

Un día, me compré Principia Mathematica y vio una gran cantidad de pruebas de la lógica de las ecuaciones, como $\vdash p \implies p$ o $\vdash \lnot (p \wedge \lnot p)$. (Por supuesto, hay un montón de pruebas acerca de rel&set en adelante)

Después de la lectura de estas pruebas, de repente pensé que "por qué no utilizar la tabla de verdad?". Sé que esta pregunta es muy tonta, pero no sé por qué es una tontería, ya sea (es sólo mi sensación dice que).

Mi (la matemática discreta) profesor dice que "Es difícil pregunta, y usted no puede comprender hasta que va a convertirse en estudiante de la universidad," que no me esperaba (yo pensaba que la razón sería algo fácil).

Por qué la gente no usa la tabla de verdad para demostrar la lógica de las ecuaciones? (Excepto para el estudio de la lógica (por ejemplo: la pregunta como "probar esta lógica ecuación usando la tabla de verdad"), por supuesto).

PS. Mi maestro es un tipo de personas que piensa que algo tiene sentido si algo tiene sentido matemáticamente.

Answer 1

En primer lugar, por supuesto, los matemáticos y los lógicos, a menudo hacen uso de las tablas de verdad, por lo que es incorrecto sugerir que no se utilizan. (No voy a comentar sobre la lectura de los Principia Mathematica, más allá de decir que ese texto no pretende ser tomado como una pieza de pedagogía.)

Pero, en segundo lugar, la tabla de verdad de método no es un método viable para grandes propuestas. Esto es debido a que por una fórmula con $n$ libre de las variables, la tabla de verdad es un objeto con $2^n$ filas, de forma exponencial de gran tamaño. Pero muchas expresiones lógicas, no obstante, comparativamente corto derivaciones que muestra a ser tautológica.

Por ejemplo, $$(p_0\vee \neg p_0)\wedge(p_1\vee \neg p_1)\wedge\cdots\wedge(p_{100}\vee\neg p_{100})$$ has a truth table with $2^{101}$ filas, pero no es una simple y obvia derivación que nos permite ver como taugological sin el cálculo de esta tabla.

Así, aunque cuando hay sólo dos variables proposicionales, no me importa el cálculo de una tabla de verdad, o incluso por tres, a menudo es más fácil con más de uso más enfocado razonamiento.

Answer 2

En Principia, los autores querían producir una lista explícita de los puramente lógico de las ideas, incluyendo un explícito lista finita de axiomas y reglas de inferencia, a partir de la cual toda la matemática se pudiera derivar. El método de tablas de verdad no es una lista limitada, y en cualquier caso sólo se ocupan de la lógica proposicional.

Las primeras derivaciones de los Principia son bastante tedioso, y podría haber sido eliminado mediante la adopción de una más generosa lista inicial de los axiomas. Pero, por razones de tradición, los autores querían que su lista sea tan pequeño como sea posible.

Comentario: Principia hoy en día es sólo de interés histórico, ya que el tema se ha desarrollado en direcciones muy diferentes de los que se inician por Russell y Whitehead. La idea de basar las matemáticas (incluyendo el desarrollo de la habitual enteros, reales, espacios de funciones) exclusivamente en la "lógica" que en gran medida ha sido abandonado en favor de la teoría a partir de las formulaciones. Y Principia no tienen una clara separación entre la sintaxis y la semántica. Tal separación es esencial para el desarrollo del Modelo de la Teoría en el pasado $80$ años.

Answer 3

Su profesor puede estar refiriéndose a la diferencia entre la semántica y la sintaxis. Un sintáctico de la prueba es de un número finito de derivación formal de una frase a partir de los axiomas de una teoría mediante la lógica de los axiomas y las reglas de inferencia de la lógica. Una prueba mediante una tabla de verdad es una semántica de la prueba; en permitir que las tablas de verdad tácitamente está asumiendo el teorema de completitud de la lógica proposicional. Esencialmente, a priori, no sabemos de que todo lo que se puede demostrar mediante el estudio de los modelos de una teoría (es decir, las tablas de verdad, en el caso de la lógica proposicional) puede ser probado sintácticamente, o incluso para el caso viceversa. Es un no-trivial resultado en la lógica, que voy a decir a continuación:

Definición. Deje $T$ ser una teoría cierta lógica. Decimos que la lógica es el sonido si cada frase $P$ que puede ser formalmente derivados de los axiomas de la $T$ es verdadera en todo modelo de $T$, es decir, $T \vdash P$ implica $T \vDash P$. Decimos que la lógica es completa si cuando una frase $P$ es cierto para cada modelo de $T$, $P$ también puede ser derivado formalmente de los axiomas de $T$, es decir, $T \vDash P$ implica $T \vdash P$.

Teorema. Clásica de la lógica proposicional es sólido y completo.

Teorema (Gödel). Clásicos de la lógica de primer orden es sólido y completo.

Y sí, es que Gödel. También hay incompleta lógicas; usted no tiene que ir muy lejos para encontrarlos, ya que incluso de segundo orden de la lógica (en virtud de la semántica usual) es incompleta.