Continuidad y diferenciabilidad

Question

Demostrar que si $f:\mathbb R\to\mathbb R$ es continua en $a$ y diferenciable en todo $x\neq a$ en un barrio de $a$ y $\lim_{x\to a}f'(x)=L$ entonces $f$ es diferenciable en $a$ y $f'(a)=L$ .

Parece tan obvio, pero no encuentro la manera de formular una solución. Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Aplicar el teorema del valor medio con puntos finales $x$ y $a$ y luego dejar que $x\rightarrow a$ . Esto le dará exactamente lo que quiere.