La fórmula OIES para la suma no funciona

Question

Tengo el siguiente resumen:

$$F(k)=\sum\limits_{n=1}^k\sum\limits_{d|n}\gcd\left({d},{\frac{n}{d}}\right)$$

En este enlace de la OEIS ( http://oeis.org/A055155 ), se encuentra esta suma exacta. (Créditos a Lucian por señalar esto en mi post anterior aquí .

Dan una fórmula para ello, que es la siguiente:

Multiplicativo:

Para incluso e: $$a(p^e) = {\frac{p^{\frac{e}{2}}(p+1)-2}{p-1}}$$

Para impar e: $$a(p^e) = {\frac{2(p^{\frac{e+1}{2}}-1)}{p-1}}$$

Algunos resultados de muestra: a(4) debería dar 4, a(9) debería dar 5.

¿Alguien puede obtener estos resultados utilizando la fórmula? ¿O lo he interpretado mal?

A mi modo de ver, si se calcula a(4), la variable e toma el valor de 4, y la variable p toma el valor de 4^(1/4).

Answer 1

Si quieres $a(n)$ en general $n\gt 1$ , primer expreso $n$ como producto de potencias primarias, $$n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_t^{e_t},$$ donde los primos $p_i$ son distintos.

A continuación, utilice las fórmulas para encontrar $a(p_i^{e_i})$ para cada $i$ por separado, con $e=e_i$ y $p=p_i$ . Su respuesta será $$a(n)=a(p_1^{e_1})a(p_2^{e_2})\cdots a(p_t^{e_t}).$$ Esto no va muy lejos para responder a su $F(k)$ problema, ya que podría ser una larga y desagradable suma.