Grupo continuo de automorfismos de $K(H)$

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert (separable) y sea $(\alpha_t)_{t\in \mathbb{R}}$ sea un grupo de automorfismos de compactos $K(H)$ . Supongamos además que este grupo es continuo, es decir, que para cada $T\in K(H)$ el mapa $\mathbb{R} \ni t \mapsto \alpha_t(T)\in K(H)$ es de norma continua.

Se sabe que los automorfismos de $K(H)$ son implementados por unitarios, por lo que existe una familia $(U_t)_{t\in \mathbb{R}}$ de los unitarios en $H$ tal que $\alpha_t(T)=U_t T U_t^*$ para cada $t,T$ .

Tengo dos preguntas:

1) ¿Podemos elegir $U_t$ de tal manera que $(U_t)_{t\in \mathbb{R}}$ es un grupo de operadores, es decir $U_{t+s}=U_t U_s$ ?

2) Supongamos que $(U_t)_{t\in \mathbb{R}}$ es un grupo de operadores. ¿Es fuertemente continuo (para cada $\xi\in H$ el mapa $\mathbb{R}\ni t\mapsto U_t \xi \in H$ es continua) ?

Por el resultado de von Neumann, si $(U_t)_{t\in \mathbb{R}}$ es un grupo y los mapas $\mathbb{R} \ni t \mapsto \langle \xi | U_t \eta \rangle\in \mathbb{C}$ son medibles entonces de hecho $(U_t)_{t\in \mathbb{R}}$ es fuertemente continua.

Answer 1

Muy bien, he encontrado una respuesta: siempre podemos encontrar una familia de unitarios $(U_t)_{t\in \mathbb{R}}$ que implementará $(\alpha_t)_{t\in\mathbb{R}}$ y además será un grupo fuertemente continuo. Es (un caso especial de) un resultado principal en "Groups of Inner Automorphisms of von Neumann Algebras" - Robert R. Kallman, Journal of Functional Analysis 7, 43-60 (1971)