Dejemos que H sea un espacio de Hilbert (separable) y sea (\alpha_t)_{t\in \mathbb{R}} sea un grupo de automorfismos de compactos K(H) . Supongamos además que este grupo es continuo, es decir, que para cada T\in K(H) el mapa \mathbb{R} \ni t \mapsto \alpha_t(T)\in K(H) es de norma continua.
Se sabe que los automorfismos de K(H) son implementados por unitarios, por lo que existe una familia (U_t)_{t\in \mathbb{R}} de los unitarios en H tal que \alpha_t(T)=U_t T U_t^* para cada t,T .
Tengo dos preguntas:
1) ¿Podemos elegir U_t de tal manera que (U_t)_{t\in \mathbb{R}} es un grupo de operadores, es decir U_{t+s}=U_t U_s ?
2) Supongamos que (U_t)_{t\in \mathbb{R}} es un grupo de operadores. ¿Es fuertemente continuo (para cada \xi\in H el mapa \mathbb{R}\ni t\mapsto U_t \xi \in H es continua) ?
Por el resultado de von Neumann, si (U_t)_{t\in \mathbb{R}} es un grupo y los mapas \mathbb{R} \ni t \mapsto \langle \xi | U_t \eta \rangle\in \mathbb{C} son medibles entonces de hecho (U_t)_{t\in \mathbb{R}} es fuertemente continua.
