Supongamos que $n$ los puntos se encuentran en la esfera $S^2=\{x\in\mathbb{R}^3\mid \|x\|=1\}$ y están sometidos a una aceleración de repulsión que aleja un punto de otro punto con una intensidad proporcional al cuadrado de la distancia mutua. Supongamos que la propia esfera no presenta ningún rozamiento, de modo que los puntos son libres de moverse. Se puede pensar en ellos como $n$ electrones en una esfera superconductora. ¿Cuáles son, si es que existen, las configuraciones hasta las isometrías de $S^2$ de equilibrios estables?
Mi intuición sugiere que hay al menos un equilibrio estable para cada $n$ y es único para los pequeños $n$ . Supongamos hasta las isometrías que uno de los puntos es el polo norte $N:=(0,0,1)$ ; entonces el $n$ puntos están en un equilibrio estable si los otros $n-1$ son:
- $n=2$ : on $-N$ ;
- $n=3$ formando un triángulo equilátero con $N$ (con un vértice situado en $\{y=0\}$ );
- $n=4$ formando un tetraedro regular con $N$ (con un vértice situado en $\{y=0\}$ );
- $n=5$ Una en $-N$ y los otros en un triángulo equilátero en el ecuador $\{z=0\}$ (con un vértice situado en $(1,0,0)$ );
- $n=6$ formando un octaedro regular con $N$ (con un vértice situado en $\{y=0\}$ );
- $n=7$ Pero sospecho que tres de ellos están cerca de un paralelo en el hemisferio norte y otros tres cerca de un paralelo en el hemisferio sur;
- $n=8$ formando un cubo regular con $N$ (con un vértice situado en $\{y=0\}$ );
- $n=9$ Sospecho que es similar al caso $n=7$ con sólo un punto más en cada paralelo
$\qquad\ldots$
- $n=12$ formando un icosaedro regular con $N$ (con un vértice situado en $\{y=0\}$ );
$\qquad\ldots$
- $n=20$ formando un dodecaedro regular con $N$ (con un vértice situado en $\{y=0\}$ );
¿Hay algún patrón aquí? ¿Hay alguna prueba de la existencia/unicidad de equilibrios estables? ¿Los poliedros dados por los cascos convexos de estas configuraciones tienen algún nombre particular?
