Demostrar que $X+Y$ no está cerrado en $\ell^1$

Question

Dejemos que $X=\{x\in l^1:x(2k)=0,\forall k=1,2,...\}$ y $Y=\{x\in l^1:\dfrac1ky(2k-1)=y(2k),\forall k=1,2,...\}$ . Demostrar que $X+Y$ no está cerrado en $l^1$

La parte anterior de este problema me pide que demuestre que $e_k\in X+Y$ donde $\{e_k\}$ es la base estándar de Schauder de $l^1$ y lo hice. La pista del problema citado es :

Demuestra que $\overline {X+Y}=l^1$ y $z\notin X+Y$ donde $z(i)=\begin{cases} 1/n, & \text{if $i=2n$} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

Pero no entiendo la insinuación ya que $z$ ni siquiera en $l^1$ . O hay otro método para probar $X+Y$ ¿no está cerrado? Por favor, dame algunas pistas, gracias.

Answer 1

Como ha señalado correctamente, la propuesta $z$ ni siquiera está en $\ell^1$ por lo que no puede proporcionar un contraejemplo legítimo.

Sin embargo, la pista sigue siendo útil; sólo hay que dar un ejemplo correcto.

Obsérvese que, como los términos en $X$ son aquellos cuyos términos pares son $0$ si decimos $z=x+y$ donde $x \in X$ y $y\in Y$ entonces debe ser necesariamente cierto que incluso los términos de $y$ deben coincidir con los de $z$ . En otras palabras, $z_{2n}=y_{2n}$ para todos $n\ge 1$ .

Ahora ciertamente la secuencia $z$ definido por $z_n=\frac{1}{n^2}$ pertenece a $\ell^1$ . Quiere demostrar que $z\notin X+Y$ . Supongamos lo contrario. Así que $z=x+y$ para algunos $x,y$ .

Entonces esto obliga a $y_{2n}=\frac{1}{4n^2}$ pero $y\in Y$ así que $y_{2n-1}=\frac{1}{4n}$ . Esto es claramente una contradicción, así que $z\notin X+Y$