La Wikipedia dice:
Todo espacio vectorial topológico tiene una base local de conjuntos absorbentes y conjuntos equilibrados.
No soy un gran experto en el tema. Pero me gustaría ver las pruebas de tal afirmación. ¿Alguna pista?
He intentado demostrarlo utilizando la definición de base para una topología y la continuidad de estas operaciones en t.v.s.
Dejemos que $U$ sea una vecindad de $0$ . Desde $0*x=0$ y por la continuidad de la multiplicación escalar, obtenemos $ \delta >0$ tal que $tx \in U$ para todos $|t| \le \delta$ . Por lo tanto: $x \in \lambda U$ para $|\lambda| \ge 1/ \delta$ . Esto demuestra que U es absorbente.
Desde $0*0=0$ y por la continuidad de la multiplicación escalar, obtenemos $ \delta >0$ y un barrio $V$ de $0$ tal que $tV \subset U$ para $|t| \le \delta$ . Por lo tanto, $ \delta V \subset \lambda U$ para $|\lambda| \ge 1$ .
Te toca demostrar que $U$ contiene una vecindad equilibrada de $0$ .
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