Prueba de que 4 puntos se encuentran en una circunferencia y que el centro de esta circunferencia se encuentra en la circunferencia de $\triangle ABC$

Question

Dado es triángulo agudo $ABC$ . Sea $D$ sea el pie de la altitud del vértice $A$ . Sea $D_1$ sea un punto para que la línea de simetría entre $D_1$ y $D$ es la línea $AB$ . Sea $D_2$ sea un punto para que la línea de simetría entre $D_2$ y $D$ es la línea $AC$ . Dejemos que los puntos $E_1, E_2$ estar en línea $BC$ para que $D_1E_1 \parallel AB$ y $D_2E_2 \parallel AC$ . Prueba de que los puntos $D_1, E_1, D_2, E_2$ se encuentran en el mismo círculo y que el centro de este círculo se encuentra en el círculo circunscrito del triángulo $ABC$ .

Mi plan era probar primero que $D_1E_1E_2D_2$ es un cuadrilátero cíclico, es decir, que $\angle E_1E_2D_2 + \angle E_1D_1D_2 = 180°$ o que $\angle E_1D_2D_1 = \angle E_1E_2D_1$ . Esto significaría que los puntos $D_1, E_1, D_2, E_2$ se encuentran en el mismo círculo. Sin embargo, sin éxito.
¿Puede alguien ayudarme con esto, por favor?

Answer 1

Poner $\angle BAD=\angle EAC, \angle CAD=\angle ECB$ .

EB es perpendicular $D_1E_1$ . Desde $BD_1E_1$ es un triángulo isósceles (ya que esos ángulos son iguales), $ED_1E_1$ es triángulo isósceles, también. E está en dos perpendiculares de $D_1E_1$ y $D_2E_2$ . Esto demuestra que E es el circuncentro de estos cuatro puntos.

Answer 2

Dejemos que $ A' $ sea el punto simétrico de $ D $ sobre $ A $ en $ DA $ es decir $ A' $ es el punto en $ DA $ tal que $ A'A = DA $ . Sea $ F_1 $ sea la intersección de $ DD_1 $ con $ AB $ y $ F_2 $ sea la intersección de $ DD_2 $ con $ AC $ . Entonces se observa fácilmente lo siguiente:

(1) $ BF_1F_2C $ es cíclico. Esto se debe a que $ AF_1DF_2 $ es cíclico como $ \angle AF_1D = \angle AF_2D = 90^{\circ} $ . A continuación, observe que $ \angle BF_1F_2 = \angle BF_1D + \angle DF_1F_2 = 90^{\circ} + \angle DAF_2 = 90^{\circ} + 90^{\circ} - \angle C = 180^{\circ} - \angle BCF_2 $ , que prueban la afirmación.

(2) El $ \triangle D_1A'D_2 $ es una expansión de $ \triangle F_1AF_2 $ con factor de escala $ 2 $ . Así que $ A'D_1 $ (resp. $ A'D_2 $ ) es paralela a $ AB $ (resp $ AC $ ) y por lo tanto $ E_1 $ (resp $E_2 $ ) es la intersección de $ A'D_1 $ con $ BC $ (resp. $ A'D_2 $ con $ BC $ ). Esto demuestra que el cuadrilátero $ D_1E_1E_2D_2 $ se obtiene a partir del cuadrilátero $ F_1BCF_2 $ por la expansión sobre $ D $ por un factor de $ 2 $ .

Ya que hemos demostrado la ciclicidad de $ F_1BCF_2 $ en (1), se deduce que $ D_1E_1E_2D_2 $ también es cíclico.

Por ahora no he pensado en el circuncentro, pero debería ser manejable.