cálculo multivariable

Question

Estoy trabajando con la regla de la cadena en el cálculo multivariable y estoy teniendo algunas dificultades con la pregunta:

Dejemos que $f,g : \Bbb R \longrightarrow \Bbb R$ donde $f$ y $g$ son dos veces diferenciables. Demuestre que $u(x,t)=f(x-at)+g(x+at)$ es una solución de la ecuación de onda $u_{tt} = a^2 u_{xx}$ .

Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Dejemos que $\phi(x,t) = f(x-at)$ . Entonces $\phi_{tt}(x,t) = a^2 f_{xx}(x-at)$ y $\phi_{xx}(x,t) = f_{xx}(x,t)$ . Por lo tanto, $\phi_{tt} = a^2 \phi_{xx}$ Así que $\phi$ satisface la ecuación de onda.

Ahora dejemos que $\eta(x,t) = g(x+at)$ Esto da como resultado $\eta_{tt}(x,t) = a^2 g_{xx}(x,t)$ y $\eta_{xx}(x,t) = g_{xx}(x,t)$ . Por lo tanto, $\eta_{tt} = a^2 \eta_{xx}$ Así que $\eta$ satisface la ecuación de onda.

Como la ecuación de onda es lineal, se deduce que $u =\phi+\eta$ también satisface la ecuación de onda.