Composición de la densidad de probabilidad

Question

Conozco la distribución de probabilidad para el parámetro $\phi$ . Tengo la distribución empírica/estadística de $X$ que depende del parámetro $\phi$ para $\phi \in [0,1]$ . Asimilo esta distribución empírica a la distribución de probabilidad para X.

1/ ¿Puedo hacerlo? ¿Son las nociones similares?

Entonces, conociendo la distribución para $\phi$ y "distribución empírica" para $X$ Me gustaría calcular la distribución de $X(\phi)$ .

Primero pensé en utilizar el método de la función de densidad inversa. Esto da un generador de números aleatorios para mi distribución desconocida, si puedo calcular la cdf inversa $F^{-1}$ .

Sin embargo, no siempre puedo calcular $F^{-1}$ . Pensé entonces en algún método de rechazo.

2/ Me pregunto si puedo tratar este problema como un problema de composición de la densidad de probabilidad, y qué soluciones hay. He echado un vistazo rápido y he visto algunos enfoques de optimización para esta clase de problemas (ex aquí ).

3/ Por último, ¿por qué no encontrar la distribución de X multiplicando cada valor de $X(\phi)$ por la densidad de probabilidad para este valor de $\phi$ ? (producto simple de la densidad de probabilidad subyacente por los valores X)

Gracias.

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EDITAR

Intento reformular el problema en términos de estadística bayesiana.

Tengo una previa $\phi$ con una distribución uniforme. Entonces conozco la distribución de X condicionada a esta prioridad para $\phi$ , $P(X|\phi)$ . De la regla de Bayes, puedo deducir $P(\phi|X) = \frac{P(X|\phi)*P(\phi)}{P(X)}$ .

Ahora, mi prioridad no está más uniformemente distribuida. En otras palabras, tengo el mismo modelo paramétrico para la distribución de X, pero ahora está parametrizado con una RV no uniforme $\theta$ siguiendo alguna distribución conocida con densidad $f_{\theta}$ . Me gustaría conocer nuevas $P(X|\theta)$ . De la regla de Bayes, $P(X|\theta) = \frac{P(\theta|X)*P(X)}{P(\theta)}$ .

Mi problema se resuelve si tengo una relación entre $P(\theta|X)$ y $P(\phi|X)$ . ¿Debo conectar $P(\phi|X)$ , que sé, en la igualdad $P(X|\theta) = \frac{P(\theta|X)*P(X)}{P(\theta)}$ ?

Espero que las explicaciones provisionales suenen más claras. Si no es así, ¿podría guiarme hacia una posible formulación y solución?

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EDIT - Intento aclarar la primera frase tras el comentario de Zen, y reformular

Con 'Tengo la distribución empírica/distribución estadística de $X$ que depende del parámetro $\phi$ para $\phi \in [0,1]$ .', quería decir: Conozco la distribución de los datos en una situación en la que algún parámetro, $\phi$ se distribuye uniformemente. Asumo un modelo para la distribución empírica, que se parametriza con $\phi$ .

Ahora, me encuentro en otra situación, donde este parámetro, que considero una variable aleatoria, está teniendo otra distribución, con alguna densidad conocida $f_{\phi}$ . También asumo que el modelo de la distribución empírica se mantiene con la nueva distribución subyacente.

En este modelo se pueden producir datos en los que la distribución de los parámetros ya no es uniforme, sino que es $f_{\phi}$ . Quiero encontrar la distribución de estos datos.

Gracias, pido disculpas por la pregunta ingenua y el léxico ackward de las estadísticas.

Saludos cordiales.

Answer 1

El problema planteado en un lenguaje que me resulta familiar es que se quiere determinar la distribución posterior de phi dada una distribución a priori sobre phi que es

uniforme en [0, 1].

X se distribuye según una distribución paramétrica digamos con densidad f $_$ (x).

Tome una muestra de tamaño n iid de f $_$ (x).

La distribución posterior para se obtiene por la regla de Bayes

g(|x) = c f $_$ (x $_1$ )f $_$ (x $_2$ )....f $_$ (x $_n$ ) para 0<=<=1

g(|x) = 0 en caso contrario. c es la constante de normalización que hace que g(|x)dx=1 donde la integración es sobre el intervalo [0,1]. La densidad a priori uniforme para aparece como la constante 1 cuando 0<=<=1 y es 0 en caso contrario. El producto de las f $_$ s es la función de probabilidad dada X $_1$ =x $_1$ , X $_2$ =x $_2$ ..., X $_n$ =x $_n$ .

Basado en tu edición parece que quieres inferir la probabilidad a partir de la posterior y la anterior. Pero no entiendo por qué querrías hacer eso. Normalmente te dan los datos y eliges un prior y un modelo y luego calculas el posterior. Pero si por P(X) quieres decir p(X|)p()d entonces la fórmula que tienes es correcta.