¿Son ciertos grupos de Lie simples grupos algebraicos lineales?

Question

Suponga que tiene un grupo de Lie simple casi conectado G con centro trivial. (En particular, excluyendo ejemplos no algebraicos como la cubierta universal de SL_2(R)).

Dicho grupo debería ser automáticamente un grupo algebraico sobre los reales o los números complejos.

¿Es esto cierto y por qué?

¿Podemos además concluir (EDIT: bajo una buena elección del campo y posiblemente supuestos adicionales?) que G es absolutamente casi simple como grupo algebraico?

EDIT: Al preguntar esto no quiero considerar un grupo de Lie complejo como un grupo algebraico real.

Answer 1

La respuesta es afirmativa para los grupos de Lie complejos, y se deduce de la clasificación (De hecho, los datos de las raíces se definen sobre $\mathbb{Z}$ un grupo complejo semisimple tiene no sólo una estructura algebraica subyacente, sino incluso una aritmética). Para una explicación más directa, véase el teorema 6.3 del libro "Lie Groups and Lie Algebras III" de Onischik-Vinberg: cualquier grupo de Lie complejo conectado que satisfaga $G = [G,G]$ y admite una representación lineal fiel (que para los grupos semisimples es automática), tiene una única estructura algebraica compleja subyacente.

Para los grupos de Lie reales esto no es bastante cierto, como se ha señalado anteriormente.