¿Cuántas permutaciones de orden $8$ en $S_{10}$ ?

Question

Encuentra el número de permutaciones de orden $8$ en $S_{10}$ . Si $\sigma$ es uno de ellos, encuentre el número de subgrupos en el subgrupo generado por $\sigma$ .

Answer 1

Sugerencia :

El orden de una permutación descompuesta como producto de ciclos disjuntos es el m.c.l. de los órdenes de los ciclos, es decir, el m.c.l. de las longitudes de los ciclos.

Answer 2

Un elemento de $S_{10}$ tiene orden $8$ si su tipo de ciclo es $(8,1,1)$ o $(8,2)$ .

Hay ${10\choose 8}\cdot7!$ de tipo $(8,1,1)$ . Hay ${10\choose 8}\cdot 7!$ de tipo $(8,2)$ .

Juntos conseguimos $900\cdot7!$

Si $\sigma$ es uno de ellos, $\langle\sigma \rangle $ es cíclico de orden $8$ . Por tanto, hay dos subgrupos propios, de órdenes $2$ y $4$ que no sea $\{e\}$ .