Formas diferenciales en un $S^1$ -manifold

Question

Estoy leyendo sobre formas diferenciales en colectores con acciones de grupo y hay una fórmula "obvia" que no entiendo muy bien.

Dejemos que $X$ sea una variedad con una acción circular suave, es decir, un grupo suave de difeomorfismos de un parámetro $\phi_t: X \to X$ con periodo 1. Sea $T$ sea el generador infinitesimal de esta acción circular, es decir, el campo vectorial tangente a la $S^1$ órbitas. Sea $\iota_T: \Omega^*(X)\to \Omega^{*-1}(X)$ denotan la multiplicación interior con el campo vectorial $T$ .

Dejemos que $\phi: S^1 \times X \to X$ sea el mapa $\phi(t,x)=\phi_t(x)$ .

¿Cómo puedo demostrar la siguiente fórmula para cualquier forma diferencial $\omega \in \Omega^*(X)$ :

$\phi^*(\omega)=\phi_t^*(\omega) +dt \wedge \iota_T(\phi_t^*(\omega))$ ?

Gracias.

Answer 1

Una forma de demostrarlo es ver qué $\phi^* \omega$ es cuando se aplica a los vectores en $T(S^1 \times X)$ . Tenga en cuenta que $T(S^1 \times X) = TS^1 \oplus TX$ . Por lo tanto, un primer paso es entender qué $\phi_* \partial_t$ y $\phi_* v$ son donde $v \in T_x X$ . Tenemos $\phi_* \partial_t = T$ y $\phi_* v = {\phi_t}_* v$ .

El único caso que tenemos que ver es el de ver qué ocurre cuando aplicamos $\phi^* \omega$ a una colección de vectores que comienza con $\partial_t$ , digamos que $\partial_t, v_1, v_2, \dots$ . Entonces, \[ \phi^* \omega( \partial_t, v_1, \dots) = \omega( T, (\phi_t)_* v_1, \dots) \] Ahora, utilizando la observación final de que $T = (\phi_t)_* T$ conseguimos la identidad que querías.

Un ejercicio para ti, para que te asegures de que entiendes lo que está pasando, es perseguir en qué punto se evalúa cada uno de estos campos vectoriales.