Ecuación diferencial parcial $3u_y+u_{xy}=0$

Question

Apenas estoy comenzando mi curso de EDP y tengo problemas para resolver esta fácil ecuación.

$$3 \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial y} = 0$$

Esto es lo que he probado:

$$\frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^2 u}{\partial y \partial x}$$

Así que podemos sustituirlo: $z = \frac{\partial u}{\partial y} $

Ahora tenemos $3z + \frac{\partial z}{\partial x} =0 $

Obtenemos $z(x,y) = C(y)e^{-3x}$ .

¿Es correcto este razonamiento? Porque ahora parece imposible calcular $u(x,y)$ .

¿Qué debo hacer?

Answer 1

Sugerencia $$u(x,y) = \int C(y) e^{-3x} \mathrm dy = e^{-3x} \tilde C_2(y) + \tilde C_1(x)$$ Ahora mira la EDP original para inferir algo sobre la $\tilde C_i$ s $$u_y(x,y) = e^{-3x} \tilde C_2'(y)\\ u_x(x,y) = -3e^{-3x} \tilde C_2(y) + \tilde C_1'(x)\\ u_{yx}(x,y) = -3 e^{-3x} \tilde C_2'(y)\\ u_{xy}(x,y) = -3 e^{-3x} \tilde C_2'(y)$$ Así que necesitas $\tilde C_1 \in C^1(\mathbb R), \tilde C_2 \in C^1(\mathbb R)$ como únicos requisitos si no se imponen condiciones de contorno.

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Ejemplo con condiciones de contorno dadas
Si imponemos las condiciones de contorno $u(x,0) = e^{-3x}, u_y(x,0) = 0\quad \forall x$ que se traduce en $$e^{-3x} = \tilde C_2(0) e^{-3x} + \tilde C_1(x) \qquad \forall x\\ 0 = e^{-3x} \tilde C_2'(0)$$ Así obtenemos $\tilde C_2'(0) = 0$ y $\tilde C_1(x) = e^{-3x}(1-\tilde C_2(0))$ así que $$u(x,y) = e^{-3x}\underbrace{(1-\tilde C_2(0) + \tilde C_2(y))}_{=\tilde C_3(y)}$$ Verifique que $\tilde C_3' = \tilde C_2'$ para ver que podemos elegir $\tilde C_1 \equiv 0$ . Así, el espacio de soluciones viene dado precisamente por $$u(x,y) = C(y) e^{-3x}$$ Con $C\in C^1(\mathbb R), C(0) = 1, C'(0) = 0$ . Una posible opción es $C \equiv 1$ o $C \equiv \cos, C(y) = \frac1{1+y^2}$ sería una solución decadente.