Función de densidad de probabilidad con distribución condicional y correlación

Question

No estoy seguro con la pregunta c/d/e/f pero voy a dar mis respuestas para todas las preguntas que he intentado.

Las variables aleatorias $X$ y $Y$ tienen una función de densidad de probabilidad conjunta

$f_{X,Y}(x,y) = ke^{-(x+y)},\ x>0,\ y>0,\ 0<x<y.$

(a) Trace la región en la que la función de densidad de probabilidad conjunta es distinta de cero.

(b) Demuestre que $k = 2.$

(c) Encuentre la distribución marginal de $X$ ; nombra la distribución e indica su media y su varianza.

(d) Encuentre la distribución condicional de $Y|X = x$ para $x>0$ . Preste especial atención a la gama de $Y$ con la condición de $x$ .

(e) Calcule $Pr(X + Y<1)$ .

(f) Dado que $E(Y) = 1.5$ y $Var(Y) = 1.25$ calcular la correlación entre $X$ y $Y$ .

RESPUESTAS:

(a) No sé cómo dibujar aquí, pero es el área de arriba $y=x$ y $y>0$ .

(b) Aquí he utilizado la doble integración

$\int_0^\infty \int_0^y ke^{-(x+y)}dxdy = 1$

$\int_0^\infty [-ke^{-(x+y)}]_0^y dy = \int_0^\infty[-ke^{-y}+ke^{-2y}]dy$

$[ke^{-y}-\frac{k}{2}e^{-2y}]_0^\infty = [ke^{-0} - \frac{k}{2}e^{-2\cdot0}]-[ke^{-\infty}-\frac{k}{2}e^{-2\cdot \infty}] = [k - \frac{k}{2}]-[0] = \frac{k}2$

Por lo tanto, $\frac{k}{2}=1$ y $k=2$

(c) $P_x(x)=\int_yP_{X,Y}(x,y)dy=\int_0^\infty2e^{-(x+y)}dy$

$[-2e^{-(x+y)}]_0^\infty= -2e^{-x}$

Suponiendo que la integración que he realizado sea correcta la distribución marginal de $X$ es $-2e^{-x}$ y por lo tanto se trata de una distribución gamma ya que los límites son $(0,\infty)$ y tampoco coincide con la distribución binomial.

Distribución gamma: $\frac{1}{\Gamma(\alpha)\cdot \beta^\alpha}\cdot x^{\alpha-1}\cdot e^{-\frac{x}{\beta}}$

Por lo tanto, $\frac{1}{\Gamma(\alpha)\cdot \beta^\alpha}\cdot x^{\alpha-1}\cdot e^{-\frac{x}{\beta}} = -2e^{-x}$

Aquí es donde me he equivocado al utilizar $\beta = 1$ para salir $e^{-x}$ como que luego tengo que encontrar:

$\frac{1}{\Gamma(\alpha)\cdot 1^\alpha}\cdot x^{\alpha-1} = -2$ y utilizando $\alpha =1$ para hacer $x^0$ y deshacerse de $x$ pero esto hace que $1=-2$ .

(d) No estoy seguro de cómo hacer esta pregunta.

(e) Añadir la línea $y=1-x$ al gráfico de * (a) *Tenemos una nueva región que encontrar

$\int_0^1 \int_x^{1-x}2e^{-(x+y)}dydx$

$\int_0^1[-2e^{-(x+y)}]_x^{1-x}dx$

$\int_0^1[(-2e^{-2x})-(-2e^{-1})]dx$

$[e^{-2x}+2xe^{-1}]_0^1$

$e^0 + 0 - e^{-2} + 2e^{-1} = 1-\frac{1}{e^2}+\frac{2}{e}$

Por lo tanto, $Pr(x+y<1) = 1-\frac{1}{e^2}+\frac{2}{e}$

(f) No sé cómo hacerlo.

Answer 1

En (c), queremos "integrar" $y$ . Así, la función de densidad de $X$ es $$\int_{y=x}^\infty 2e^{-x}e^{-y}\,dy.$$ Los rendimientos de la integración $2e^{-x}e^{-x}$ . Así que $X$ tiene una distribución exponencial, parámetro $2$ .

Sobre (d), recordemos que la densidad condicional de $Y$ dado que $X=x$ es $$\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)}.$$ Obsérvese que la densidad condicional es $0$ para $y\lt x$ .

En (e), la configuración es buena. Hay un pequeño error de signo en el cálculo. El número obtenido es imposible, es mayor que $1$ .

En (f), primero necesitaremos la covarianza, es decir, $E(XY)-E(X)E(Y)$ . Para ello, necesitamos encontrar $$\iint_D (xy) 2e^{-(x+y)}\,dydx,$$ donde $D$ es la región donde nuestra densidad conjunta es positiva.