Diagrama de árbol para el problema de la probabilidad condicional de que dos hijos sean portadores de la enfermedad

Question

La pregunta : Una mujer tiene un 50% de posibilidades de ser portadora de hemofilia. También tiene dos hijos Si es portadora, cada hijo tiene independientemente 0,5 probabilidades de tener la enfermedad. Si no es portadora, sus hijos serán independientemente normales (es decir, no tendrán la enfermedad).

(c) Si el primer hijo es normal, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo también lo sea? (d) Si ambos hijos son normales, ¿cuál es la probabilidad de que ella sea portadora?

Este es el enlace al diagrama de árbol que dibujé introduzca aquí la descripción de la imagen

¿Sería el diagrama de árbol anterior una conceptualización correcta del problema dado?

Mi interpretación de (c) es que, dado que ambos hijos son normales, son eventos independientes, entonces P (2º hijo normal | 1º hijo normal) = P(2º hijo normal) = 0,75 utilizando la regla de la partición.

¿También sería correcto decir que la parte (d) se puede resolver mediante la regla de Bayes?

Answer 1

Dejemos que $C$ denotan el caso de que la mujer sea portadora.

Dejemos que $N_{1}$ denotan el caso de que el primer hijo sea normal.

Dejemos que $N_{2}$ denotan el caso de que el segundo hijo sea normal.

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$\begin{aligned}P\left(N_{1}\right) & =P\left(N_{1}\mid C\right)P\left(C\right)+P\left(N_{1}\mid C^{\complement}\right)P\left(C^{\complement}\right)\\ & =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+1\cdot\frac{1}{2}\\ & =\frac{3}{4} \end{aligned} \tag1$

y:

$\begin{aligned}P\left(N_{1}\cap N_{2}\mid C\right) & =P\left(N_{1}\mid C\right)P\left(N_{2}\mid C\right)\\ & =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\\ & =\frac{1}{4} \end{aligned} \tag2$

Aplicando $(2)$ encontramos:

$\begin{aligned}P\left(N_{1}\cap N_{2}\right) & =P\left(N_{1}\cap N_{2}\mid C\right)P\left(C\right)+P\left(N_{1}\cap N_{2}\mid C^{\complement}\right)P\left(C^{\complement}\right)\\ & =\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}+1\cdot\frac{1}{2}\\ & =\frac{5}{8} \end{aligned} \tag3$

Aplicando $(1)$ y $(2)$ encontramos:

$\begin{aligned}P\left(N_{2}\mid N_{1}\right)\frac{3}{4} & =P\left(N_{2}\mid N_{1}\right)P\left(N_{1}\right)\\ & =P\left(N_{1}\cap N_{2}\right)\\ & =\frac{5}{8} \end{aligned} \tag4$

Aplicando $(4)$ encontramos la solución de c): $$P\left(N_{2}\mid N_{1}\right)=\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{8}=\frac{5}{6}$$

Aplicando $(3)$ y $(2)$ encontramos:

$\begin{aligned}P\left(C\mid N_{1}\cap N_{2}\right)\frac{5}{8} & =P\left(C\mid N_{1}\cap N_{2}\right)P\left(N_{1}\cap N_{2}\right)\\ & =P\left(C\cap N_{1}\cap N_{2}\right)\\ & =P\left(N_{1}\cap N_{2}\mid C\right)P\left(C\right)\\ & =\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\\ & =\frac{1}{8} \end{aligned} \tag5$

Aplicando $(5)$ encontramos la solución de d): $$P\left(C\mid N_{1}\cap N_{2}\right)=\frac{8}{5}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{5}$$

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Ahora comprueba tú mismo (no puedo leer bien tu enlace).