En problemas por el lado soleado de Mercurio

Question

Tengo el siguiente problema de deberes, y he podido resolver las partes a) y b), pero no la parte c).

El Capitán Ralph está en problemas cerca del lado soleado de Mercurio. La temperatura del casco de la nave cuando está en el lugar $(x, y, z)$ estará dada por $T(x, y, z) = e^{x^2 2y^2 3z^2}$ , donde $x$ , $y$ y $z$ se miden en metros. Actualmente se encuentra en $(1, 1, 1)$ .

a) ¿En qué dirección debe proceder para disminuir la temperatura más rápidamente?

Lo tengo: $\left(2e^{-6},4e^{-6},6e^{-6}\right)$

b) Si el barco viaja a $e^9$ metros por segundo, ¿a qué velocidad (en grados por segundo) disminuirá la temperatura si avanza en esa dirección?

Lo tengo: $\sqrt{56}e^3$

c) Desgraciadamente, el metal del casco se agrieta si se enfría a una velocidad superior a $\sqrt{{{17}}}e^3$ grados por segundo. Describe el conjunto de posibles direcciones en las que puede proceder para bajar la temperatura a no más de esa velocidad.

Estoy perdido aquí.

Encontré esto otro post de math.slackexchange pero me he perdido al seguirlo. He intentado recrear sus pasos sin éxito para mi propio problema.

También encontré esto Deberes de Caltech . El problema que estoy haciendo es exactamente el mismo que su último problema (sólo números diferentes), no entiendo cómo llegaron a su respuesta.

Además, estoy presentando a un ordenador, así que aunque la respuesta podría ser correcta, podría ser que la respuesta no es la que están buscando. Anoche envié el problema a mis profesores para que lo verificaran, pero todavía no me han contestado.

Cualquier aclaración/ayuda será muy apreciada.

Editar: También probé $\sqrt{56}e^3\cos \left(\theta \right)$ que tampoco fue aceptada. Todavía no he recibido respuesta de ninguno de los profesores del curso.

Editar 2: I encontré este sitio web donde pasan y resuelven para theta.

Además, mi respuesta tiene que ser algo parecido a esto (sea lo que sea que signifique, por favor explíquemelo si lo entiende). $$\{ai+bj+ck \mid a^2+b^2+c^2=1, 0<[answer]\leq \sqrt{17}e^3\}$$

Answer 1

La derivada direccional de una función en la dirección de $\hat n$ viene dada por $\vec \nabla f \cdot \hat n$

En este caso, en el punto $(1,1,1)$ con el barco recorriendo una distancia $s$ en la dirección $(a,b,c)$ con $a^2+b^2+c^2=1$ tenemos ...

$$\frac{dT}{ds}=-2 e^{-6}(1,2,3)\cdot (a,b,c) $$

así que $$ \frac{dT}{dt} = e^9\frac{dT}{ds} = -2 e^3 (a+2b+3c) $$

Usted requiere $-\sqrt{17}e^3 < \frac{dT}{dt} <0 $

por lo que su condición debe ser

$$0< a+2b+3c < \frac{ \sqrt{17}}2 $$