Para cada número entero positivo $m$ , encontrar un polinomio $y(x)$ tal que $xy''(x)+(1-x)y'(x)+my(x)=0$

Question

Demuestre que, para cada $m \in \mathbb{N}$ hay un polinomio $y(x)$ tal que $$\bigg(xD^2+(1-x)D+m\bigg)y(x)=0$$

Esta es una pregunta del examen del año pasado en mi módulo de ODE y mi profesor no proporcionó ninguna solución para este trabajo en particular. Me gustaría saber cómo puedo ir a probar esta pregunta a mi propio ritmo. No tengo ni idea de cómo empezar esta pregunta, así que cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

$\require{cancel}$ Esperando que todos mis cálculos sean correctos, esto podría ser una respuesta:

Déjalo: $$y(x)=\sum_{n=0}^\infty C_nx^{n+r},\quad y'(x)=\sum_{n=0}^\infty C_n(n+r)x^{n+r-1},\quad y''(x)=\sum_{n=0}^\infty C_n(n+r)(n+r-1)x^{n+r-2}$$

Sustituyendo en la ecuación original obtenemos:

$$\sum_{n=0}^\infty C_n(n+r)(n+r-1)x^{n+r-1}+\sum_{n=0}^\infty C_n(n+r)x^{n+r-1}-\sum_{n=0}^\infty C_n(n+r)x^{n+r}+\\+\sum_{n=0}^\infty C_nm\cdot x^{n+r}=0$$ Factorización $x^r$ y haciendo la simple sustitución $n=k+1$ para las dos primeras sumas y $n=k$ para los otros dos, obtenemos:

$$x^r\left[\sum_{k=-1}^\infty C_{k+1}(k+r+1)(k+r)x^{k}+\sum_{k=-1}^\infty C_{k+1}(k+r+1)x^{k}-\sum_{k=0}^\infty C_k(k+r)x^{k}+\sum_{k=0}^\infty C_km\cdot x^{k}\right]=0$$ Evaluando las dos primeras sumas para $k=-1$ y juntándolos, nos lleva a: $$(r^2-r)C_0x^{-1}+rC_0x^{-1}+\\+\sum_{k=0}^{\infty}\left[C_{k+1}(k+r+1)(k+r)+C_{k+1}(k+r+1)-C_k(k+r)+mC_k\right]x^k=0$$ A partir de la ecuación anterior podemos obtener el polinomio indicial y la relación de recurrencia para $k=\{0,1,2,3...\}$ : $$ \begin{align*} (r^2-r)C_0x^{-1}+rC_0x^{-1}&= 0 &C_{k+1}(k+r+1)(k+r)+C_{k+1}(k+r+1)-C_k(k+r)+mC_k=0\\ r&= 0 &C_{k+1}=\frac{(k+r-m)C_k}{k^2+2rk+2k+r^2+r+1} \end{align*}$$ Sustituyendo a $r$ en la relación de recurrencia, obtenemos: $$C_{k+1}=\frac{(k-m)C_k}{k^2+2k+1}$$ Evaluando para diferentes valores de $k$ , \begin{align} \text{For } k=0:& \quad\quad C_1 =-mC_0\\ \text{For } k=1:& \quad\quad C_2 =\frac{1-m}4C_1\\ \text{For } k=2:& \quad\quad C_3 =\frac{2-m}9C_2=\frac{(2-m)(1-m)}{36}C_1\\ \text{For } k=3:& \quad\quad C_4 =\frac{3-m}{16}C_3=\frac{(3-m)(2-m)(1-m)}{576}C_1\\ \vdots \end{align} Por lo tanto, sabiendo que: $$y(x)=\sum_{n=0}^\infty C_nx^{n+r}$$ y con toda la información obatada, $y(x)$ puede expresarse como: $$y(x)=\sum_{n=0}^\infty C_nx^{n}=C_0-mC_0x+\frac{1-m}4C_1x^2+\frac{(2-m)(1-m)}{36}C_1x^3+\frac{(3-m)(2-m)(1-m)}{576}C_1x^4+\cdots$$ Así: $$y_1(x)=C_0(1-mx)$$ $$ y_2(x)=C_1\left(\frac{1-m}4x^2+\frac{(2-m)(1-m)}{36}x^3+\frac{(3-m)(2-m)(1-m)}{576}x^4+\cdots\right)$$ Como podemos ver en $y_2(x)$ , si $m\in\mathbb{N}$ la ecuación diferencial tendrá como solución un polinomio de grado $m$ .

---

Por ejemplo, dejemos que $m=3$ Entonces: $$y(x)=C_0-3C_0x-\frac12C_1x^2+\frac1{18}C_1x^3+\cancel{0\cdot C_1x^4}+\cancel{0\cdot C_1x^5}+\cancel{0\cdot C_1x^6}\cdots$$ Como se puede ver, la solución de la ecuación diferencial es un polinomio de mayor grado igual a $3=m$ .