$\require{begingroup} \begingroup$ $\def\f#1#2#3{\frac{#2#3\sqrt{#2#3}}{#1(#1+#2+#3)(-#1+#2+#3)}}$
\begin{align} \f abc+\f bca+\f cab &\ge 1 \tag{1}\label{1} \end{align}
Por AM-GM
\begin{align} &\f abc+\f bca +\f cab \\ &\ge 3\sqrt[3]{ \f abc\cdot\f bca\cdot\f cab } \tag{2}\label{2} \\ &= 3\sqrt[3]{ \frac{(abc)^2}{ (a+b+c)^3(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) } } \tag{3}\label{3} . \end{align}
Dejemos que $\rho$ , $r$ y $R$ sean el semiperímetro, el inradio y el circunradio del triángulo correspondiente.
Entonces podemos reescribir \eqref {3} como
\begin{align} &3\sqrt[3]{ \frac{(4\rho r R)^2}{ 16(2\rho)^2\rho(\rho-a)(\rho-b)(\rho-c)}} \tag{4}\label{4} \\ &= 3\sqrt[3]{ \frac{(\rho r R)^2}{ (2\rho)^2\rho^2r^2 } } =3\sqrt[3]{\frac{R^2}{4\rho^2}} =\frac{3}{\sqrt[3]{4(\rho/R)^2}} \tag{5}\label{5} . \end{align}
Todas las afirmaciones anteriores son igualmente válidas para un triángulo normalizado similar, escalado por $\tfrac1R$ , por lo que $u=\rho/R$ y $v=r/R$ . Esta parametrización es útil ya que todas las posibles formas triangulares válidas están definidas de forma única por un par $v,u$ para todos $v\in[0,\tfrac12]$ . Además, para cualquier $v$ todos los valores válidos de $u$ se encuentran entre
\begin{align} u_{\min}&=\sqrt{27-(5-v)^2-2\sqrt{(1-2\,v)^3}} \tag{6}\label{6} ,\\ u_{\max}&=\sqrt{27-(5-v)^2+2\sqrt{(1-2\,v)^3}} \tag{7}\label{7} \end{align}
y por supuesto, $u_{\max}\ge u_{\min}$ para todos los valores válidos de $v$ .
Así que,
\begin{align} \frac{3}{\sqrt[3]{4(\rho/R)^2}} &= \frac{3}{\sqrt[3]{4\,u^2}} \ge \frac{3}{\sqrt[3]{4\,u_{\max}(v)^2}} \ge \frac{3}{\sqrt[3]{4\,\Big(\displaystyle\max_{v\in[0,\tfrac12]}u_{\max}(v)\Big)^2}} \tag{8}\label{8} . \end{align}
Tenga en cuenta que $u_{\max}(v)$ está aumentando en $v=[0,\tfrac12]$ y
\begin{align} \max_{v\in\Big[0,\tfrac12\Big]}u_{\max}(v) &= u_{\max}(\tfrac12) =\tfrac32\,\sqrt3 \tag{9}\label{9} , \end{align}
por lo que tenemos
\begin{align} \frac{3}{\sqrt[3]{4\,\Big(\displaystyle\max_{v\in[0,\tfrac12]}u_{\max}(v)\Big)^2}} &= \frac{3}{\sqrt[3]{4\,\Big(\tfrac32\,\sqrt3\Big)^2}} =1 \tag{10}\label{10} , \end{align}
y la prueba está completa.
Parece que algún comentario sobre los Eqns \eqref {6}, \eqref {7} se debe. Como se mencionó en los comentarios, se puede encontrar una referencia en, por ejemplo, p.2, Ecs.(2),(3) en Mitrinovic, D.S., Pecaric, J. y Volenec, V., 1989. Recent advances in geometric inequalities (Vol. 28). Archivo Brill. Se pueden encontrar más referencias allí, una es tan antigua como de 1890-1891. Pero básicamente, se deduce de expresiones bien conocidas:
\begin{align} a_2&=a+b+c=2\rho \tag{11}\label{11} ,\\ a_1&=ab+bc+ca=\rho^2+r^2+4rR \tag{12}\label{12} ,\\ a_0&=abc=4\rho r R \tag{13}\label{13} \end{align} y por lo tanto, las raíces de esta ecuación cúbica \begin{align} x^3-a_2 x^2+a_1 x-a_0&=0 \tag{14}\label{14} \end{align} son las tres longitudes laterales $a,b,c$ del triángulo con un $\rho,r$ y $R$ .
Raíces de \eqref {14} son todos reales, cuando su discriminante
\begin{align} \Delta(1,-a_2,a_1,-a_0)&= 18\,a_2\,a_1\,a_0-4\,a_2^3\,a_0+a_2^2\,a_1^2-4\,a_1^3-27\,a_0^2 \\ &= -4\,r^2\,(\rho^4 -(4\,R\,(5\,r+R)-2\,r^2)\,\rho^2+r\,(r+4\,R)^3) \ge 0 \tag{15}\label{15} , \end{align} y ecuaciones \eqref {6}, \eqref {7} siguen.
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