Estoy leyendo a través de Clifford Truesdell es "Un ensayo hacia una teoría unificada de las funciones especiales", Princeton Univ. Press, 1948. Toda su exposición se basa en la ecuación funcional
$$\frac{\partial}{\partial z}\mathrm F(z,\alpha)=\mathrm F(z,\alpha+1)$$ Comienza con la
Vamos a estudiar las funciones de $f (y, \alpha)$ en la satisfacción de un funcional de la ecuación del tipo
$$\frac{\partial}{\partial y} f (y, \alpha) = \mathrm A(y, \alpha) f (y, \alpha) + \mathrm B(y, a) f (y, \alpha+1 )$$
Entonces, definimos
$$g\left( {y,\alpha } \right) = f\left( {y,\alpha } \right)\exp \left\{ { - \int\limits_{{y_0}}^y {\mathrm A\left( {v,\alpha } \right)dv} } \right\}$$
Podemos comprobar que $g$ satisface
$$\frac{\partial }{{\partial y}}g\left( {y,\alpha } \right) = g\left( {y,\alpha + 1} \right)B\left( {y,\alpha } \right)\exp \left\{ { - \int\limits_{{y_0}}^y {\left[ {A\left( {v,\alpha + 1} \right) - A\left( {v,\alpha } \right)} \right]dv} } \right\}$$
Así podemos reducir la ecuación a
$$\frac{\partial }{{\partial y}}g\left( {y,\alpha } \right) = C\left( {y,\alpha } \right)g\left( {y,\alpha + 1} \right)\tag {1}$$
Ahora que los estados
En el caso de casi todas las funciones especiales que conozco para satisfacer una ecuación de tipo $(1)$, el coeficiente de $C(y, \alpha)$ es factorable, $C(y, \alpha)=Y(y)A( \alpha)$, de modo que asume
$$\frac{\partial }{{\partial y}}g\left( {y,\alpha } \right) = Y(y)A( \alpha)g\left( {y,\alpha + 1} \right)$$
Ahora él se define:
$$z:= \int_{y_1}^y Y(v) dv$$
y
$$F(z,\alpha ): = g\left( {y,\alpha } \right)\exp \left\{ {\mathop {\mathrm S}\limits_{{\alpha _0}}^\alpha \log {\text{A}}\left( v \right)\Delta v} \right\}$$
Ahora este es el operador que me preocupa
$$\mathop {\mathrm S}\limits_{{\alpha _0}}^\alpha h\left( v \right)\Delta v = \mathop {\lim }\limits_{k \to {0^ + }} \left\{ {\int\limits_{{a_0}}^\infty {h\left( v \right){e^{ - kc\left( v \right)}}dv} - \sum\limits_{m = 0}^\infty {h\left( {a + m} \right){e^{ - kc\left( {a + m} \right)}}} } \right\}$$
No puedo encontrar ninguna referencia a lo $c(v)$ es. Es este conocido operador? ¿Qué es $c$?
De todos modos, tengo un caso sencillo en el que necesito para transformar:
Deje $$\mathrm F\left( {x,\alpha } \right) = \int\limits_0^x {{{\left( {\frac{t}{{t + 1}}} \right)}^\alpha }} \frac{{dt}}{t}$$
Luego, tenemos la ecuación funcional
$$\frac{\alpha }{x} \mathrm F\left( {x,\alpha } \right) - \frac{\alpha }{x} \mathrm F\left( {x,\alpha + 1} \right) = \frac{\partial }{{\partial x}} \mathrm F\left( {x,\alpha } \right)$$
Siguiente Truesdell del método, puedo definir
$$\mathrm G\left( {x,\alpha } \right) = \frac{{\mathrm F\left( {x,\alpha } \right)}}{{{x^\alpha }}}$$
Entonces tengo la ecuación funcional
$$\frac{\partial }{{\partial x}} \mathrm G\left( {x,\alpha } \right) = - \alpha \mathrm G\left( {x,\alpha + 1} \right)$$
¿Cómo puedo transformar a la $\mathrm F$ ecuación usando Truesdell del método?
La importancia de la original $\mathrm F$ I definir es que puede ser utilizado para mostrar que
$$\log (1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\left(\frac x {x+1} \right)^n\text{ ; for } x > -\frac 1 2$$
y tal vez algunos otros resultados se pueden derivar. Todavía tengo un montón de exposición a leer.
