Un caso particular de Truesdell de la teoría unificada de las funciones especiales

Question

Estoy leyendo a través de Clifford Truesdell es "Un ensayo hacia una teoría unificada de las funciones especiales", Princeton Univ. Press, 1948. Toda su exposición se basa en la ecuación funcional

$$\frac{\partial}{\partial z}\mathrm F(z,\alpha)=\mathrm F(z,\alpha+1)$$ Comienza con la

Vamos a estudiar las funciones de $f (y, \alpha)$ en la satisfacción de un funcional de la ecuación del tipo

$$\frac{\partial}{\partial y} f (y, \alpha) = \mathrm A(y, \alpha) f (y, \alpha) + \mathrm B(y, a) f (y, \alpha+1 )$$

Entonces, definimos

$$g\left( {y,\alpha } \right) = f\left( {y,\alpha } \right)\exp \left\{ { - \int\limits_{{y_0}}^y {\mathrm A\left( {v,\alpha } \right)dv} } \right\}$$

Podemos comprobar que $g$ satisface

$$\frac{\partial }{{\partial y}}g\left( {y,\alpha } \right) = g\left( {y,\alpha + 1} \right)B\left( {y,\alpha } \right)\exp \left\{ { - \int\limits_{{y_0}}^y {\left[ {A\left( {v,\alpha + 1} \right) - A\left( {v,\alpha } \right)} \right]dv} } \right\}$$

Así podemos reducir la ecuación a

$$\frac{\partial }{{\partial y}}g\left( {y,\alpha } \right) = C\left( {y,\alpha } \right)g\left( {y,\alpha + 1} \right)\tag {1}$$

Ahora que los estados

En el caso de casi todas las funciones especiales que conozco para satisfacer una ecuación de tipo $(1)$, el coeficiente de $C(y, \alpha)$ es factorable, $C(y, \alpha)=Y(y)A( \alpha)$, de modo que asume

$$\frac{\partial }{{\partial y}}g\left( {y,\alpha } \right) = Y(y)A( \alpha)g\left( {y,\alpha + 1} \right)$$

Ahora él se define:

$$z:= \int_{y_1}^y Y(v) dv$$

y

$$F(z,\alpha ): = g\left( {y,\alpha } \right)\exp \left\{ {\mathop {\mathrm S}\limits_{{\alpha _0}}^\alpha \log {\text{A}}\left( v \right)\Delta v} \right\}$$

Ahora este es el operador que me preocupa

$$\mathop {\mathrm S}\limits_{{\alpha _0}}^\alpha h\left( v \right)\Delta v = \mathop {\lim }\limits_{k \to {0^ + }} \left\{ {\int\limits_{{a_0}}^\infty {h\left( v \right){e^{ - kc\left( v \right)}}dv} - \sum\limits_{m = 0}^\infty {h\left( {a + m} \right){e^{ - kc\left( {a + m} \right)}}} } \right\}$$

No puedo encontrar ninguna referencia a lo $c(v)$ es. Es este conocido operador? ¿Qué es $c$?

De todos modos, tengo un caso sencillo en el que necesito para transformar:

Deje $$\mathrm F\left( {x,\alpha } \right) = \int\limits_0^x {{{\left( {\frac{t}{{t + 1}}} \right)}^\alpha }} \frac{{dt}}{t}$$

Luego, tenemos la ecuación funcional

$$\frac{\alpha }{x} \mathrm F\left( {x,\alpha } \right) - \frac{\alpha }{x} \mathrm F\left( {x,\alpha + 1} \right) = \frac{\partial }{{\partial x}} \mathrm F\left( {x,\alpha } \right)$$

Siguiente Truesdell del método, puedo definir

$$\mathrm G\left( {x,\alpha } \right) = \frac{{\mathrm F\left( {x,\alpha } \right)}}{{{x^\alpha }}}$$

Entonces tengo la ecuación funcional

$$\frac{\partial }{{\partial x}} \mathrm G\left( {x,\alpha } \right) = - \alpha \mathrm G\left( {x,\alpha + 1} \right)$$

¿Cómo puedo transformar a la $\mathrm F$ ecuación usando Truesdell del método?

La importancia de la original $\mathrm F$ I definir es que puede ser utilizado para mostrar que

$$\log (1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\left(\frac x {x+1} \right)^n\text{ ; for } x > -\frac 1 2$$

y tal vez algunos otros resultados se pueden derivar. Todavía tengo un montón de exposición a leer.

Answer 1

La expresión con la desconcertante $\rm\:c(v)\:$ es Norlund principal de la solución de la diferencia de la ecuación de $\rm \mathop\Delta\limits_{\alpha}\ \mathop {\mathrm S}\limits_{{\alpha _0}}^\alpha h(v) dv = h(a).\:$ Truesdell menciona en el Apéndice II, uno puede encontrar una exposición de este Capítulo 8 de los clásicos del Cálculo de las Diferencias Finitas, por Milne-Thomson.

Como he mencionado anteriormente aquí, Willard Miller demostró que Truesdell método es esencialmente Mentira-teórico. Ver a su libre disposición libro teoría de la Mentira y Funciones Especiales, 1968. Allí también se muestra que, del mismo modo, el Schroedinger-Infeld-Casco / escalera de la factorización de método (una poderosa herramienta ampliamente explotado por los físicos para calcular los autovalores, de relaciones de recurrencia, etc. para las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden) es esencialmente equivalente a la teoría de la representación de los cuatro locales de la Mentira de los grupos. Hoy en día es un caso especial de la Mentira de la teoría de la simetría de los métodos utilizados para la separación de variables en ecuaciones diferenciales parciales (un tema importante en el grupo de teoría de aproximación hacia una teoría unificada de las funciones especiales).