Condición necesaria y suficiente para $P(\xi\geq b)=1$

Question

Estoy trabajando en la siguiente pregunta y no veo cómo es posible la afirmación del problema

Dejemos que $\xi$ sea una variable aleatoria no negativa. Demuestre que para $b>0$ , $$\lim_{t\to +\infty}\frac{1}{t}\log \mathbb Ee^{-t\xi} = -b$$ si $P(\xi\geq b) = 1$ .

La cosa es que no veo cómo esta afirmación tiene siquiera sentido, porque sólo hay un valor posible de ese límite si está definido, pero puede haber potencialmente muchos valores posibles de $b$ tal que $P(\xi\geq b) = 1$

Fuente: Otoño 2015

Answer 1

Aquí hay una solución: Deja que $X$ sea cualquier variable aleatoria tal que $E[e^{-tX}]$ es finito para todo $t >0$ . Prueba:

1) Si $b \in \mathbb{R}$ y $P[X<b]=0$ entonces $$ \limsup_{t\rightarrow\infty} \frac{1}{t}\log(E[e^{-tX}]) \leq -b $$

2) Si $b \in \mathbb{R}$ y $P[X<b]>0$ entonces $$ \liminf_{t\rightarrow\infty} \frac{1}{t}\log(E[e^{-tX}]) > -b $$

3) Concluir que $\lim_{t\rightarrow\infty} \frac{1}{t}\log(E[e^{-tX}])$ existe (posiblemente sea $\infty$ ) y es igual a $-b^*$ , donde $$ b^* = \inf \{b \in \mathbb{R} : P[X<b]>0\} $$

4) Concluir que $\lim_{t\rightarrow\infty} \frac{1}{t}\log(E[e^{-tX}]) \leq -b$ si y sólo si $P[X\geq b] =1$ .