Demostrar la desigualdad $4(a+b+c)^3\ge 27(a^2b+b^2c+c^2a)$

Question

$$4(a+b+c)^3\ge 27(a^2b+b^2c+c^2a)$$ , $a,b,c\ge0$

Traté de resolver esta desigualdad de la manera que lo hice Así que tenemos que mostrar $$4(a + b + c) ^ 3 \ge 27 (a ^ 2b + b ^ 2c + c ^ 2a + abc)$$

Una forma es utilizar la simetría cíclica, y WLOG asume $a$ es $a, b, c$ minuto. Entonces podemos escribir $b = a + x, c = a + y$ , donde $x, y \ge 0$ . Ahora la desigualdad se reduce a 9 $$(x ^ 2-xy + y ^ 2) + (x-2y) ^ 2 (4x + y) \ge 0$$ lo cual es obvio. También a partir de lo anterior, obtenemos que la igualdad es posible si $x = y = 0$ o cuando $a = 0, x = 2y$ es decir, cuando $(a, b, c) = (1, 1, 1)$ o permutación $(0, 2, 1)$ .

Creo que es un error por favor ayuda

Answer 1

La última desigualdad debe ser $$9(x^2-xy+y^2)a+4x^3-15x^2y+12xy^2+4y^3 \geqslant 0,$$ o $$9(x^2-xy+y^2)a+(4x+y)(x-2y)^2 \geqslant 0.$$ Se llama BW método.