límite $r^{n-1}(\log(1/r))^n$ como $r$ se reduce a cero para $n>1$

Question

Estoy tratando de encontrar el límite $r^{n-1}(\log(1/r))^{n}$ como $r$ va a cero y $r\geq 0$

Intento

Del' Hopitals para $\dfrac{r^{n-1}}{(\log(1/r))^{-n}}$ simplemente repite la misma fracción hasta una constante.

La desigualdad clásica del logaritmo da $r^{n-1}(\log(1/r))^{n}\leq r^{n-1}(\frac{1}{r}-1)^{n}=\frac{1}{r}(1-r)^{n}\to \infty$ .

¿alguna sugerencia?

Gracias

Answer 1

Ciertamente hay una desigualdad en la otra dirección que puedes utilizar, pero los estudiantes se confunden fácilmente con las desigualdades de logaritmos. Si este es tu caso, puedes transformar el límite para deshacerte del logaritmo y llevar la expresión a una forma más viva. Como $r$ tiende a cero, podemos escribir $r=e^{-s}$ donde, para que $r$ para ir a cero, $s$ debe tender a más infinito. Entonces $$\lim_{r\to 0^+} r^{n-1}(\log(1/r))^n$$ será igual a $$\lim_{s\to \infty}e^{-s(n-1)}s^n = \lim_{s\to \infty} \frac{s^n}{e^{s(n-1)}}.$$ ¿Qué sabes ahora sobre el comportamiento en el infinito de los polinomios frente a las exponenciales? ¿Puedes terminar el problema ahora?

Answer 2

$r^{n-1}\log^n(1/r)=(-1)^n r^{n-1}\log^n r\to0$ desde $n>1$ .