Representación de la matriz de $F_4$

Question

Alguien ha tomado la molestia de escribir el 26 dimensiones fundamentales de la representación de $F_4$? No me importaría verla. Es en $\mathfrak{so}(26)$?

Estoy familiarizado con la construcción de la fundamental de la representación de $G_2$ donde se puede usar el hecho de que los grupos se automorphism grupo de la octonions poner lineal de las relaciones en $\mathfrak{so}(7)$. (Elementos de ${\mathfrak{g}}_2$ son las derivaciones)

Respondiendo a la misma pregunta para $E_6$, $E_7$ o $E_8$ también serán bienvenidos aquí.

Answer 1

Como entiendo la pregunta, el OP estaría feliz de ver una descripción de la menor dimensión fundamental de la representación de $F_4$ (y tal vez $E_6$, $E_7$, $E_8$), y es feliz con la descripción de $G_2$ que actúa sobre el espacio de traza cero octonions.

Sí - la gente ha "molestado en escribir" las representaciones de $F_4$ y los otros grupos excepcionales en este espíritu. Chevalley, Schafer, Albert, Jacobson, Freudenthal, y las Tetas son los nombres que vienen a la mente en primer lugar.

$F_4$ actúa naturalmente como automorfismos del 27 de dimensiones excepcionales Jordania álgebra $J_{3,O}$ -- este es el Jordán álgebra de 3 por 3 Hermitian matrices con entradas en el octonions (que octonion álgebra se utiliza depende de o determina la forma de $F_4$). Desde $F_4$ actúa como álgebra de automorfismos, conserva la unidad de elemento de esta álgebra, y conserva la traza se forman como resultado. De ello se desprende que $F_4$ hechos del 26 de dimensiones de seguimiento de cero en el subespacio de las 27 dimensiones de álgebra. Eso está muy cerca, en el espíritu, para el ejemplo de $G_2$ que actúa sobre el seguimiento de cero octonions.

También, $F_4$ actúa sobre este 26 de espacio tridimensional, la preservación de la degenerada simétrica traza de la forma: $$(X,Y) \rightarrow Tr(X \cdot Y).$$

$E_6$ también actúa sobre el 27-dimensional Jordania álgebra de arriba, pero no como álgebra de automorfismos. En su lugar, $E_6$ puede ser visto como el lineal de automorfismos de este 27 de espacio tridimensional que preservar el cúbicos norma formulario (el "determinante" de un 3 por 3 Hermitian octonionic de la matriz). Creo que esto se remonta a Chevalley y Schafer unos 60 años.

$E_7$ actúa de forma natural en un 56 dimensiones del espacio, estudiado por Freudenthal. Este es el espacio de dos por dos matrices, con las entradas de la diagonal en el campo base, y entradas fuera de la diagonal en el carácter excepcional de Jordania álgebra mencionados anteriormente: $2+27+27 = 56$. $E_7$ puede ser visto como el grupo de los lineales de automorfismos de esta 56-el espacio tridimensional de la preservación de una cuártica forma, creo.

El más mínimo irreductible de la representación de $E_8$ es el adjunto de la representación de $E_8$ sobre su propia Mentira álgebra-así que usted tiene que construir $E_8$ a representar, en un sentido.

Un buen reciente encuesta de temas relacionados, y una fuente de otras referencias se Báez encuesta sobre la octonions.

Answer 2

Aunque ha habido muchas personas que han hecho esto, en la primera persona en hacerlo fue Élie Cartan, que escribió una base para el álgebra matricial ${\frak{f}}_4\subset{\frak{so}}(26)$ en su 1894 tesis Sur la structure des groupes de transformaciones finis et continus. Ver pp 144--147 para las fórmulas explícitas sobre $\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$ (para la división de formulario). En un artículo posterior, Les groupes réels simples finis et continus (1914), que explícitamente expuesto (conjugado lineal) de involuciones en $\mathbb{C}^{26}$ cuyo fijo subgrupos daría las tres formas reales de $F_4$, vea las páginas 343--352.

Él también da explícito fórmulas para $E_6$, $E_7$ y $E_8$ en su nivel más bajo de representaciones tridimensionales en los dos anteriores artículos.

A propósito de la OP comentario de Mi principal pregunta es, realmente, "¿qué hace la matriz?" ¿Qué se tiene que imponer en las entradas de la(26) de la matriz a estar en la F4 subalgebra?: A mí me parece que usted se está preguntando cómo las transformaciones lineales en los diversos álgebras se caracterizan. Así, por ejemplo, uno puede decir que el ${\frak{so}}(n)$ se caracteriza por ser el skewsymmetric $n$a$n$ matrices o, alternativamente, se podría decir que estas son las transformaciones lineales que, a la primera orden, preservar el estándar (positiva definida) producto interior en $\mathbb{R}^n$.

A lo largo de estas líneas, Cartan de nuevo da las respuestas para $F_4$, $E_6$, y $E_7$ en su 1894 tesis: muestra el ${\frak{f}}_4\subset{\frak{so}}(26)$ es caracterizado como el álgebra de la Mentira de que el estabilizador de una forma cuadrática y una cierta proyectiva de cono de dimensión $16$ $26$ dimensiones. (Más tarde, se dio cuenta de que podría ser caracterizado como el estabilizador de un homogénea polinomio cúbico en $26$ variables). También describió ${\frak{e}}_6\subset{\frak{sl}}(27)$ como el estabilizador de un homogénea polinomio cúbico en $27$ variables e ${\frak{e}}_7\subset{\frak{sp}}(28)$ como el estabilizador de un homogénea polinomio de cuarto grado en $56$ variables (y de una forma simpléctica, aunque, por la Mentira, álgebra, esto no es necesario).

Finalmente, a pesar de Cartan parece que no se han dado cuenta de esto, resulta que ${\frak{e}}_8\subset{\frak{so}}(248)$ puede ser caracterizado en ${\frak{gl}}\bigl({\frak{e}}_8\bigr)$ como el estabilizador de la Cartan $3$-forma de la álgebra ${\frak{e}}_8$ sí.

Answer 3

Answerlet: es en ${\mathfrak so}(26)$ o ${\mathfrak sp}(13)$, es decir, se trata de una complejización de una representación real o olvidadizo de un quaternionic representación. De hecho, esto es cierto de todos los irrep de $F_4$. No quiero saber de inmediato que se produce por su particular irrep.

Prueba: $F_4$ no tiene ningún diagrama de Dynkin simetrías, por lo que el automorphism de la dominante Weyl cámara tomar una irrep a su doble debe ser trivial. Por lo $V \cong V^* $. A continuación, el $F_4$invariante en el interior del producto en $V$ vive en $Sym^2 V$ o $Alt^2 V$, de ahí la dicotomía.

Answer 4

Aquí cito algunos BRECHA código para la generación F4 Mentira álgebra de matrices 27 x 27. Es posible obtener de ellos en la dimensión 26 pero entonces usted necesita para utilizar la función Sqrt(2), Sqrt(3). En la dimensión 27 es más agradable.

Matrices L1 L7..son matrices de 8x8 de la izquierda de la multiplicación por la unidad imaginaria octonions e1..e7. R1..R7 están a la derecha de multiplicaciones por la unidad de octonions. Si usted tiene problemas para obtener tales por favor hágamelo saber.

También he obtenido Mentira álgebra de E6 como matrices complejas 27x27 y la Mentira álgebra E7 como cuaterniones matrices de 28 x 28. Traté de obtener alguna buena manera E8 Mentira álgebra en forma 31*8 dim matrices pero no hubo suerte. Fue en 2008 cuando trabajaba en estas secuencias de comandos. He utilizado Freudenthal, Tetas, Vinberg papeles al hacer esto.

Saludos, Marek

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v18 := BlockMatrix([[1,1,-R1], [2,2,-L1], [3,3,L1+R1]], 4,4); v28 := BlockMatrix([[1,1,-R2], [2,2,-L2], [3,3,L2+R2]], 4,4); v38 := BlockMatrix([[1,1,-R3], [2,2,-L3], [3,3,L3+R3]], 4,4); v48 := BlockMatrix([[1,1,-R4], [2,2,-L4], [3,3,L4+R4]], 4,4); v58 := BlockMatrix([[1,1,-R5], [2,2,-L5], [3,3,L5+R5]], 4,4); v68 := BlockMatrix([[1,1,-R6], [2,2,-L6], [3,3,L6+R6]], 4,4); v78 := BlockMatrix([[1,1,-R7], [2,2,-L7], [3,3,L7+R7]], 4,4);

S:= DiagonalMat([1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1]);

Construir ahora elíptica versión de F4. El nombre es de que exp(t*[[0,-1], [2,0]]) es elipse. Realmente exp(t*[[0,-1], [2,0]]/Sqrt(2)) es una elipse.

p1 := [[0, -1, 1]]; p2 := [[-1, 1, 0]];

n := NullMat(8,8); v:= n+p1; vt := -2*TransposedMat(v);

Este a0, que realmente corresponde a la ad([[0,-1,0],[1,0,0],[0,0,0]]) derivación en h3O. a0 := BlockMatrix([[1,2,S], [2,1,-S], [3,4, v], [4,3, vt]], 4,4);

w := n+p2; wt := -2*TransposedMat(w);

b0 := BlockMatrix([[2,3,S], [3,2,-S], [1,4, w], [4,1, wt]], 4,4); mats3 := [ v18, v28, v38, v48, v58,v68,v78, a0, b0];; ms:=Lista(mats3, x->x{[1..27]}{[1..27]}); f4_e := LieAlgebra( Racionales, ms);