$\frac{dy/dt}{dx/dt} \text{ at } t = a \text{ or } \lim_{t \to a} \frac{dy/dt}{dx/dt} \text{?}$

Question

Tomemos un ejemplo de ecuación paramétrica:

\begin{cases} x = t^3\\ y = t^6 \end{cases}

Evidentemente, la fórmula $\displaystyle \left. \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt} \right.$ no funciona en $t=0 \Big(\displaystyle \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{0}{0}\Big)$ .

Pero en $t = 0 \text{, } (x, y) = (0, 0)$ y $\displaystyle \frac{dy}{dx} = 0.$

Answer 1

La derivada no está definida en x=0, pero la derivada existe en términos de un límite. El punto (0,0) es lo que se llama "cúspide". Es un punto en el que la partícula se detiene momentáneamente y luego vuelve a coger velocidad.