Integral de superficie de $\left(0, \frac{-2yz}{r^4}, \frac{-r^2 + 2y^2}{r^4} \right)$ sobre una elipse

Question

En $\mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$ definan el campo vectorial $$F(x,y,z) = \left(0, \frac{-2yz}{r^4}, \frac{-r^2 + 2y^2}{r^4} \right), $$ donde $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ . Calcule la integral de $F$ sobre la superficie $$S: x^2 + y^2 + \frac{z^2}{4} = 1, z > 0. $$ La orientación no importa.

Esta pregunta parece malvada. ¿Cómo se puede calcular de forma sencilla? Parametrizar la superficie con coordenadas esféricas conduce a una integral muy difícil. Y no podemos aplicar el teorema de la divergencia, ya que tendríamos que cerrar la superficie, y entonces el dominio encerrado por ella contendrá el origen.

Answer 1

Tu idea del teorema de la divergencia debería funcionar, con una pequeña modificación. Aísla la singularidad en el origen colocándola en una pequeña esfera. La divergencia puede entonces aplicarse a la región sólida entre la superficie (cerrada) y la pequeña esfera.

Con esta configuración, la normal a la esfera es un múltiplo constante de $\langle x,y,z\rangle$ y hay cierta cancelación cuando se toma el producto interno de esta normal con su $F$ : $$F \cdot \langle x,y,z\rangle = 0 - 2y^2z/r^4 + (-r^2+2y^2)z/r^4 = -z/r^2.$$ Esto no debería ser demasiado difícil de tratar.