Números de Chern de las clases primitivas en BU

Question

Cómo se calculan los números de Chern de las clases de homología racional esférica $$f: S ^{2k} \to BU.$$ Estos generan homología racional por el teorema de Milnor-Moore ya que BU es un espacio H conectado, y así $c_k$ no puede matar a esa clase. Parece muy probable que $\langle c_k,[f] \rangle =1$ pero ¿cuál es la prueba? Permítanme añadir aquí que quería decir que $[f]$ es un generador de Milnor-Moore, es decir, es la identidad multiplicativa en $\pi_{2k} (BU, \mathbb{Q}) \simeq {\mathbb {Q}}$ .

Answer 1

Tenemos que si $f\colon S^{2k}\to BU$ es un mapa real de espacios topológicos (no queda claro en tu formulación si lo asumes) entonces $\langle c_k,[f]\rangle>$ es un múltiplo de $(k-1)!$ y todos los múltiples son posibles. Véase, por ejemplo, Husemoller: Paquetes de fibras, Cor 18.9.8, GTM 20, Springer Verlag.