La evaluación de $\int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \frac{\cos(x)}{ \cos(a \cos(x) \cos(y))} dx dy$

Question

Podemos evitar el uso de la interpretación geométrica combinado con coordenadas polares cambio de variable para demostrar que

$$\int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \frac{\cos(x)}{ \cos(a \cos(x) \cos(y))} d x dy =\frac{\pi}{ 2a}\log\left( \frac{\displaystyle 1+ \tan \left(\frac{a}{2}\right)}{ \displaystyle 1-\tan\left(\frac{a}{2}\right)}\right)$$ ?
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Lo que si queremos ir más allá y también se considera que el caso

$$\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \frac{\cos(x)}{ \cos(a \cos(x) \cos(y) \cos(z))} d x dy \ dz$$ ? ¿Qué podemos decir acerca de la forma cerrada de esta?

Answer 1

La forma más sencilla me veo haciendo estas integrales es ampliar la secante plazo en una serie de Taylor, dicen

$$\sec{q} = \sum_{k=0}^{\infty} s_{2 k} q^{2 k}$$

donde $s_{2 k}$ son conocidos pero realmente no es importante aquí. Mediante el uso de esta expansión, sin embargo, vemos que la integral doble es

$$\sum_{k=0}^{\infty} s_{2 k} a^{2 k} \int_0^{\pi/2} dx \, \cos^{2 k+1}{x} \, \int_0^{\pi/2} dy \, \cos^{2 k}{y}$$

Estas integrales son fáciles de hacer y se puede encontrar aquí. (Desplácese hacia abajo en el Apéndice.) El coeficiente binomial términos cancelar y obtenemos, para la integral,

$$\frac{\pi}{2} \sum_{k=0}^{\infty} s_{2 k} \frac{a^{2 k}}{2 k+1}$$

que podemos reescribir como

$$\frac{\pi}{2 a} \sum_{k=0}^{\infty} s_{2 k} \frac{a^{2 k+1}}{2 k+1}$$

Si diferenciamos la suma, se obtiene la serie de vuelta para $\sec{a}$! Así que en realidad, la integral es simplemente $\pi/(2 a)$ veces la antiderivada de $\sec{a}$ (cero cuando se $a=0$), así tenemos que la integral es

$$\frac{\pi}{2 a} \log{(\sec{a}+\tan{a})}$$

que es equivalente a la indicada resultado.

El 3d caso, es conceptualmente simple en este punto, de nuevo, se trata de una suma:

$$\frac{\pi^2}{4} \sum_{k=0}^{\infty} s_{2 k} \frac{a^{2 k}}{2 k+1} \frac1{2^{2 k}} \binom{2 k}{k}$$

Usted ahora necesitaría saber que $s_{2 k}=|E_{2 k}|/(2 k)!$ donde $E_{2 k}$ son los números de Euler. No estoy seguro de que hay una manera fácil de hacer esta suma, pero tal vez no es.

ANEXO

Debe quedar claro que este problema es un caso especial de la siguiente resultado: deje $f(x)$ incluso en una función con valores sobre los reales. Entonces

$$\int_0^{\pi/2} dx \, \int_0^{\pi/2} dy \, \cos{y} \: f(a \cos{x} \cos{y}) = \frac{\pi}{2 a} F(a)$$

donde$F'(x) = f(x)$$F(0)=0$.