Dada el área de un sector y un ángulo inicial desde el foco de una elipse, encontrar el ángulo necesario para obtener el área.

Question

Antecedentes del problema:

Estoy intentando hacer una simulación aproximada de la segunda ley de Kepler (áreas iguales en tiempos iguales) y para ello he dividido el área de la elipse en algún número de trozos. Quiero averiguar en cuánto tengo que aumentar el ángulo para que barra un arco que forme un sector que tenga un área igual al área del trozo (que es (Área de la Elipse/n)

Estoy representando esta elipse con la ecuación polar para una elipse de:

http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html

donde e es la excentricidad de la elipse.

Esta pregunta:

Cómo calcular el área del sector de la elipse *a partir de un foco*.

describe la resolución del área dado el ángulo, ¿cómo lo enfoco si estoy tratando de resolver el cambio en theta mientras conozco el área que quiero resolver?

Answer 1

Acabo de escribir una nueva respuesta a la pregunta a la que hace referencia . Ese post describe cómo se puede llegar desde verdadera anomalía $\theta$ a través de anomalía excéntrica $E$ a anomalía media $M$ que es proporcional al área y al tiempo.

Para encontrar el cambio en la anomalía verdadera $\theta$ correspondiente a un cambio dado en el área, primero se giraría el ángulo original $\theta_1$ en alguna anomalía media $M_1$ y luego se añade a eso y se intenta invertir el proceso, es decir, se calcula $\theta_2$ de $M_2$ . Pero la relación entre $M$ y $E$ es Ecuación de Kepler :

$$M=E-e\sin E$$

Esta es una ecuación trascendental. Wikipedia escribe :

Esta ecuación no tiene un solución de forma cerrada para $E$ dado $M$ . Suele resolverse mediante métodos numéricos, por ejemplo Método Newton-Raphson .

El lema sobre la ecuación de Kepler tiene todo un sección sobre este problema inverso , seguido de uno sobre aproximaciones numéricas. Así que supongo que ese sería el camino a seguir.