Tengo la función $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} f(x)=e^x(x^2-5x+7)$ . Tengo que demostrar que $\forall n \in \mathbb{N}^*$ la ecuación $f^{(n)}$ tiene dos soluciones reales. Donde $f^{(n)}$ es la enésima derivada de la función.
Mi idea es que esto debería demostrarse por inducción, pero no estoy seguro.
Sugerencia
La derivada de $f(x)=e^xp(x)$ es $f'(x)=e^x(p(x)+p'(x))$ para cualquier polinomio.
Por lo tanto, considere $p_0(x)=x^2-5x+7$ y definir $p_n(x)=p_{n-1}(x)+p_{n-1}'(x).$ Así, tenemos $f^{(n)}(x)=e^xp_n(x).$ No debería ser difícil conseguir $p_n(x).$ Por último, sólo hay que demostrar que $p_n$ tiene dos raíces reales.
(Tenga en cuenta que $p_n(x)=x^2+a_nx+b_n\implies p_{n+1}(x)=x^2+(a_n+2)x+a_n+b_n.$ Por lo tanto, sólo hay que resolver $a_{n+1}=a_n+2$ con $a_0=-5$ y $b_{n+1}=b_n+a_n$ con $b_0=7.)$
$f^{(n)}$ no es una ecuación sino una función. Puede que quieras decir $f^{(n)}(x)=0$ como una ecuación? En ese caso, tienes razón, es una prueba por inducción. Si $f(x)=e^{x}p(x)$ donde $p$ es un polinomio, $f$ es infinitamente diferenciable y $f^{(n)}(x)=e^{x}p_n(x)$ para algún polinomio $p_n$ .
$n=1$ :
Hay que calcular $0=f'(x)=e^{x}(x^2-3x+2)$ directamente y se obtiene $$ f(x)=0\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\Leftrightarrow x=1\vee x=2. $$ $n\mapsto n+1$ :
Considere $f^{(n)}$ tiene dos raíces $x_1<x_2$ . La MVT arroja que $f^{(n)}$ tiene un extremo en algún $\xi_1\in(x_1,x_2)$ . Por lo tanto, se obtiene $0=(f^{(n)})'(\xi_1)=f^{(n+1)}(\xi_1)$ .
Desde $f^{(n)}(x)=e^{x}p_n(x)$ para algún polinomio $p_n$ , se mantiene $$ \lim_{x\to-\infty}f^{(n)}(x)=0. $$ Utilizando la IVT y la MVT se obtiene un segundo extremo de $f^{(n)}$ en algunos $\xi_2\in(-\infty,x_1)$ y de nuevo $0=(f^{(n)})'(\xi_2)=f^{(n+1)}(\xi_2)$ .
Finalmente tenemos dos raíces $\xi_1$ y $\xi_2$ de $f^{(n+1)}$ y ya está.
Pues bien, vamos a calcular algunas derivadas de la función $f$ :
Por lo tanto, podemos suponer que $$f^{(k)}(x)=e^x\left(x^2+(2k-5)x+7+\sum\limits_{i=0}^{k-1}(2i-5)\right)$$
Por inducción, tenemos:
Así, hemos demostrado que $f^{(k)}(x)=e^xp_k(x)$ , donde $p_k(x)=x^2+(2k-5)x+7+\sum\limits_{i=0}^{k-1}(2i-5)$ . Desde $e^x>0$ por cada $x\in\mathbb{R}$ tenemos que demostrar que $p_k$ tiene dos raíces distintas para cada $k\in\mathbb{N}$ .
Para ello, calculamos: $$p_k'(x)=2x+2k-5$$ Así que: $$p_k'(x)=0\Leftrightarrow2x+2k-5=0\Leftrightarrow x=-\frac{2k-5}{2}$$ y $$\begin{align*}p_k\left(\frac{2k-5}{2}\right)=&\frac{(2k-5)^2}{4}-\frac{(2k-5)^2}{2}+7+\sum_{i=0}^{k-1}(2i-5)=\\ =&-\frac{(2k-5)^2}{4}+7+2\sum_{i=0}^{k-1}i-5k=\\ =&-\frac{(2k-5)^2}{4}+7+2\frac{k(k-1)}{2}-5k=\\ =&-\frac{(2k-5)^2}{4}+k^2-6k+7=\\ =&\frac{-4k^2+20k-25}{4}+k^2-6k+4=\\ =&\frac{-4k^2+20k-25+4k^2-24k+16}{4}=\\ =&\frac{-4k-9}{4}<0 \end{align*}$$ Además, como $p_k''(x)=2>0$ , se trata de que $p_k(x)$ tiene exactamente dos raíces distintas para cada $k\in\mathbb{N}$ que era lo que se pedía.
Revisándolo, fue un poco de fuerza bruta...
Dejemos que $P_2(x)=x^2-5x+7.$ Nota: $P_2^{(n)}=0, n\ge 3.$ Entonces: $$f'=e^x(P_2+P_2').$$ $$f''=e^x(P_2+2P_2'+P_2'').$$ $$f'''=e^x(P_2+3P_2'+3P_2''+0).$$ $$\cdots$$ $$f^{(n)}=e^x(P_2+nP_2'+\frac{n(n-1)}{2}P_2''+0)=0 \Rightarrow$$ $$x^2-5x+7+n(2x-5)+n(n-1)=0 \Rightarrow$$ $$x^2-(5-2n)x+n^2-6n+7=0 \Rightarrow$$ $$D=(5-2n)^2-4(n^2-6n+7)=4n-3>0, n\ge 1.$$
Considere $f(x)=e^x \left(a x^2+b x+c\right)$
Se puede demostrar por inducción que el $n-$ la derivada es $$f^{(n)}(x)=e^x \left(x^2+x (2 a n+b)+a n^2-a n+b n+c\right)$$ para tener dos raíces reales debe ser $$\Delta =4 a(a-1) n^2+4 n (a b+a-b)+b^2-4 c>0$$ En su ejemplo tenemos $a=1,\;b=-5,c=7$ así
$\Delta=4n-3$ lo cual es cierto para $n\geq 1$
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