Utilicemos su método para ver dónde ha fallado.
Sabemos que hay $14!$ formas de organizar todas estas bolas. Sin embargo, no queremos que las bolas rojas sean consecutivas, es decir, que no haya dos bolas adyacentes ni tres bolas.
Por lo tanto , debemos encontrar el número de exactamente dos bolas rojas adyacentes y tres bolas son adyacentes.
EXACTAMENTE DOS BOLAS ADJUNTAS : Supongamos que llamamos a las bolas rojas como $x_1 , x_2 ,x_3$ . Además, seleccionamos $x_1$ y $x_2$ son adyacentes. Entonces, ¿cuántos arreglos hay cuando son adyacentes?
La respuesta es $2! \times 13!$ . Sin embargo, estos acuerdos contienen los eventos en los que $x_3$ está a la derecha del par de $x_1,x_2$ o a la izquierda de $x_1 ,x_2.$ Debido a que queremos encontrar el número de $\color{red}{exactly}$ dos bolas rojas adyacentes, debemos restar el número de disposiciones en las que $x_3$ es adyacente al par de $x_1, x_2 $ .
Podemos hacerlo mediante $(2! \times 13! - (2! \times 2! \times 12!)$ . Sin embargo, la pareja podría haber sido $x_1 ,x_3$ porque hay $C(3,2)$ diferentes pares que pueden ser elegidos adyacentes , por lo que debemos multiplicar nuestra solución por $C(3,2)$ .
$\therefore C(3,2) \times[(2! \times 13!)-(2! \times2! \times 12!)]= 66 \times 12!$ es el nubarrón de la disposición donde hay exactamente dos pares son adyacentes.
EXACTAMENTE TRES BOLAS ROJAS ADJUNTAS = Como crees, si tres bolas rojas son adyacentes, el número de arreglos posibles son $3! \times 12!$
Resultado = $14! - [66 \times 12! + 6 \times 12!]= 14\times 13 \times 12! -72 \times 12! = 110 \times 12 ! =52,690,176,000$
