Trabajando en el capítulo 3 de Cálculo de Spivak.
La pregunta es:
Si $x_1, x_2, \ldots, x_n$ son números distintos, encontrar una función polinómica $f_i$ de grado $n-1$ que es 1 en $x,$ y 0 en $x_j$ para $j \ne i$ . Pista: el producto de todos los $(x - x_i)$ para $j\ne i$ es 0 en $x_j$ si $j \ne i$ . ( Este producto se suele denotar por
$\prod_{j=1,j\ne1}^n (x - x_j)$
Me quedé mirando esto durante un tiempo y nunca tuvo sentido. Así que fui a la clave de respuestas para poder trabajar hacia atrás y entender el problema.
La respuesta es
$f_i(x) = \frac{\prod_{j=1}^n (x-x_j)}{\prod_{j=1}^n(x_i - x_j)}$
También me quedé mirando esto y el problema era igual de desconcertante que antes.
Veo que la respuesta se amplía a
$f_i(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)\ldots(x-x_n)}{(x_i-x_1)(x_i-x_2)\ldots(x_i-x_n)}$
pero, ¿y qué? ¿Cómo es esto una solución al problema?
Suponiendo que $n = 2$ Tendríamos
$f_i(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_i-x_1)(x_i-x_2)} = \frac{x^2 - x_1 x - x_2 x + x_1 x_2}{x_i^2 - x_1 x_i - x_2 x_i + x_1 x_2}$
Se trata de una función racional arbitraria. Para mí, no se siente como una respuesta.
Aquí hay algunos detalles que no entiendo.
1) Veo que tenemos una secuencia de números. El índice de la secuencia es j. ¿Qué se supone que es i? Claro $j \ne i$ pero, ¿en qué se diferencia eso de decir que $j \ne blah$
2) La pregunta dice "un polinomio de $f_i$ de grado $n - 1$ que es 1 en $x_i$ ". ¿Significa eso que $f_i(x_i) = 1$ o $n - 1 = 1$ cuando $x=x_i$ ?
3) Del mismo modo, lo que se quiere decir es que es igual a "0 en $x_j$ " ?
¿Puede alguien arrojar algo de luz sobre esto?
