Buscando un anillo isomorfo a $\mathbb Z^n /\langle z_1,...,z_m\rangle$

Question

Encontrar un anillo familiar para $\mathbb Z^3/\langle(1,-1,-1)\rangle$ , tomé un homomorfismo surjetivo $f:\mathbb Z^3\rightarrow \mathbb Z^2$ con núcleo $\langle(1,-1,-1)\rangle$ y utilizó el Primer Teorema del Isomorfismo.

Mi duda es si hay un puede hacer decidir cuando tal anillo familiar se puede encontrar en el caso más general $\mathbb Z^n /\langle z_1,...,z_m\rangle$ con $z_1,...z_m\in \mathbb Z^n$ . Para el campo $\mathbb R$ Supongo que $\mathbb R^n /\langle a_1,...,a_m\rangle \simeq \mathbb R^{n-m}$ , donde $a_1,...,a_m$ son vectores linealmente independientes, y que no ocurre lo mismo con todos los anillos $A$ . ¿Estoy en lo cierto? He buscado estas observaciones en libros de álgebra abstracta, pero no las he encontrado.

Estaría agradecido con alguna ayuda. Gracias.

Answer 1

El anillo $\mathbb{Z}^n$ tiene los elementos $e_i$ igual a $1$ en el $i$ y el componente $0$ en los otros. La proyección $p: \mathbb{Z}^n \to \mathbb{Z}^n/ \langle z_1, ..., z_m \rangle$ se determina por el lugar donde se encuentra el $e_i$ mapa a. El $e_i$ s son idempotentes ortogonales en $\mathbb{Z}^n$ lo que significa que ${e_i}^2=e_i$ y que $e_i \cdot e_j=0$ si $i \neq j$ . Obsérvese que un idempotente $e$ de un anillo $R$ induce una descomposición de la suma directa como sigue: $R \cong Re \oplus R(1-e)$ . Así, para $\mathbb{Z}^n$ los idempotentes $\{e_i\}$ inducen la descomposición $\mathbb{Z}^n= \oplus_i \mathbb{Z}e_i$ .

Pero la cuestión es que $p(e_i)$ también son idempotentes (o $0$ ) y por tanto inducirá una descomposición en el cociente. Por lo tanto, $p: \mathbb{Z}^n \to \mathbb{Z}^n/ \langle z_1, ..., z_m \rangle$ se dividirá en una suma de $n$ factores donde cada factor es $0$ , torsión, o $\mathbb{Z}$ en función de si $p(e_i)$ es $0$ , torsión, o no torsión.