pregunta sobre "Fibraciones homológicas y el teorema de terminación de grupos"

Question

En el documento Fibraciones homológicas y teorema de terminación de grupos, McDuff-Segal, página 281 línea 17-línea 18:

tenemos un haz de fibras $M_\infty\to (M_\infty)_M\to BM$ con $(M_\infty)_M$ constractible. Para demostrar la Proposición~1 (Teorema de compleción de grupos), es necesario aplicar la Proposición~2 del trabajo Fibraciones homológicas y teorema de terminación de grupos, McDuff-Segal ? He observado que aplicando la Proposición 4.66, Topología algebraica, A. Hatcher obtengo que $\Omega BM$ es equivalente en homotopía débil a $M_\infty$ . Por lo tanto, no necesitamos la Proposición~2 del documento Fibraciones homológicas y teorema de terminación de grupos, McDuff-Segal más. ¿Es cierto?

Answer 1

$M_\infty\to (M_\infty)_M\to BM$ no es siempre un haz de fibras, ni siquiera una fibración (de Serre). Es una fibración homológica, que es una noción más débil.No habrá una larga secuencia exacta de grupos de homotopía, por lo que no se puede argumentar como en el libro de Hatcher.

Permítanme darles un consejo general basado en el tipo de preguntas que hacen estos días. Te recomiendo encarecidamente que leas el relato de Allen Hatcher sobre el teorema de terminación de grupos en el Apéndice D de su exposición del teorema de Madsen-Weiss antes de intentar comprender plenamente las fantásticas seis páginas de McDuff y Segal. Por favor, observe que se conocen algunos pequeños errores en el documento, algunos de ellos mencionados aquí . Compara Martin Palmer y Jeremy Miller reciente del teorema de terminación del grupo, que no tiene estos problemas.