Escribe la ecuación pitagórica $a^2 + b^2 = c^2$ bajo la forma $N(z) =c^2$ , donde $z = a + ib$ en $Z[i]$ y N denota el mapa normativo de $Q(i)/Q$ . Como la norma es multiplicativa, basta con resolver el mismo problema en el que c se sustituye por un factor p primo de c. En su(s) ejemplo(s), se toma tal p como congruente a 1 mod 4, de modo que se descompone totalmente en $Z[i]$ y la prueba habitual muestra que $p$ (por lo tanto $p^2$ ) es efectivamente una norma. Procese como lo hizo, y hemos terminado.
Permítanme proponer otra forma de encontrar todo el " $c$ triples atascados", como usted los llama, explotando con más ahínco la aritmética de los enteros gaussianos. La parametrización de los triples enteros que verifican $a^2 + b^2 = c^2$ en $Z$ se conoce clásicamente, pero aquí hay una "solución de Galois". Comencemos con $N(z) = 1$ con $z$ en $Q(i)$ . Un elemento $X + iY$ en $Q(i)$ tiene norma 1 si tiene la forma $(x +iy)/(x-iy)$ (Hilbert 90 !), o sea, si $X = (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2) , Y = 2xy/(x^2 + y^2)$ . Como estas expresiones son homogéneas en x, y, podemos tomar x, y en $Z$ . Volviendo a la ecuación pitagórica original, obtenemos la parametrización habitual de los triples pitagóricos : $a = m^2 – n^2 , b = 2mn , c = m^2 + n^2 $ . Si fijamos c, todos los " c Las triplas pegadas " (a,b,c) se darán como antes, partiendo de (m,n) tal que $c = m^2 + n^2$ . Más concretamente, el cociente $(x+iy)/(x-iy)$ como en el caso anterior, con $x^2 + y^2 = c$ , dará lugar a todos los "triples atascados c". Estos se parametrizan de la siguiente manera : $x + iy = t. (m + in)$ con $N(t) = 1$ .
EDITAR Caso particular : si $t$ está en $Z [i]$ entonces $t$ es una unidad (invertible), por tanto una potencia de $i$ y recuperamos las "manipulaciones" en su(s) ejemplo(s). Caso general : como antes, $t = \bar s /s$ con $s$ en $Z[i]$ Por lo tanto $s. (x + iy) = \bar s . (m + in) (*)$ lo que significa que $s$ divide $\bar s . (m + in)$ en $Z[i]$ . Consideremos los factores primos $\pi$ de $s$ . Denotando por $p$ el número primo bajo $\pi$ La teoría de la ramificación en campos cuadráticos distingue tres casos: (1) $p$ es inerte ; (2) $p$ es totalmente ramificado ; (3) $p$ está totalmente dividido (esto corresponde a $p\equiv 1\pmod 4$ ). En los dos primeros casos, sólo hay un ideal primo sobre $p$ Por lo tanto $\pi$ y $\bar \pi$ difieren en una unidad, y podemos simplificar en $s$ y $\bar s$ . En el tercer caso, $\pi $ y $\bar \pi$ son coprimas, por lo que $\pi$ divide $(m + in)$ (y $p$ divide $c$ ). A la inversa, tomando para $s$ tal $\pi$ obtenemos (x + iy) como en (*) . Conclusión : si ningún factor primo de $c$ es congruente con 1 mod 4, estamos en el caso particular ; si hay al menos un factor primo de $c$ congruente a 1 mod 4, las soluciones son más complicadas.
